已知橢圓x2+
y2
4
=1的左、右兩個頂點分別為A,B,曲線C是以A,B兩點為頂點,焦距為2
5
的雙曲線.設點P在第一象限且在曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點T.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設P,T兩點的橫坐標分別為x1,x2,求證:x1•x2為定值;
(Ⅲ)設△TAB與△POB(其中o為坐標原點)的面積分別為s1與s2,且
PA
PB
≤15,求s12-s22的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由橢圓性質(zhì)求出A(-1,0),B(1,0).由題意知雙曲線的焦距2c=2
5
,實半軸a=1,由此能求出雙曲線C的方程.
(Ⅱ)設點P(x1,y1),T(x2,y2)(x1>0,x2>0),則直線AP的方程為y=k(x+1),代入x2+
y2
4
=1
,得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0,由此能證明為x1•x2為定值.
(Ⅲ)由已知條件推導出
x
2
1
+
y
2
1
≤16
,
x
2
1
≤4
,從而得到1<x1≤2,由此能求出
s
2
1
-
s
2
2
的取值范圍為[0,1].
解答: (Ⅰ)解:∵橢圓x2+
y2
4
=1的左、右兩個頂點分別為A,B,
∴A(-1,0),B(1,0).
∵曲線C是以A,B兩點為頂點,焦距為2
5
的雙曲線,
∴雙曲線的焦距2c=2
5
,實半軸a=1,
c=
5
,b2=c2-a2=4

∴雙曲線C的方程為x2-
y2
4
=1

(Ⅱ)證明:設點P(x1,y1),T(x2,y2)(x1>0,x2>0),
直線AP的斜率為k(k>0),則直線AP的方程為y=k(x+1),
代入x2+
y2
4
=1
,
整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0,
解得x=-1或x=
4-k2
4+k2

所以x2=
4-k2
4+k2

同理將直線方程代入x2-
y2
4
=1
,解得x1=
4+k2
4-k2

x1x2=
4+k2
4-k2
4-k2
4+k2
=1
為定值.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,
PA
=(-1-x1,-y1),
PB
=(1-x1,-y1)
,
PA
PB
≤15
,
(-1-x1)(1-x1)+
y
2
1
≤15
,即
x
2
1
+
y
2
1
≤16
,
∵點P在雙曲線上,則
x
2
1
-
y
2
1
4
=1
,
x
2
1
+4
x
2
1
-4≤16
,即
x
2
1
≤4
,
又點P是雙曲線在第一象限內(nèi)的點,∴1<x1≤2,
s1=
1
2
|AB||y2|=|y2|,s2=
1
2
|OB||y1|=
1
2
|y1|
,
所以.
s
2
1
-
s
2
2
=
y
2
2
-
1
4
y
2
1
=(4-4
x
2
2
)-(
x
2
1
-1)=5-
x
2
1
-4
x
2
2

由(Ⅱ)知x1•x2=1,即,x2=
1
x1
,
t=
x
2
1
,則1<t≤4,
s
2
1
-
s
2
2
=5-t-
4
t
,
t+
4
t
在(1,2]上單調(diào)遞減,在[2,4]上單調(diào)遞增,
∴當t=4,即x1=2時,(
s
2
1
-
s
2
2
)min=0

當t=2,即x1=
2
.(
s
2
1
-
s
2
2
)max=1

s
2
1
-
s
2
2
的取值范圍為[0,1].
點評:本題考查曲線方程的求法,考查兩數(shù)乘積為定值的證明,考查兩三角形面積的平方差的取值范圍的求法,解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
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lim
t→0
f(3)-f(3-t)
t
=( 。
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B、f′(t)
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D、-f′(t)

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3
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x2
4
+y2=1的左、右焦點分別為F′與F,圓F:(x-
3
)2
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MF′
MF
=1,求點M的坐標;
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m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx),
n
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m
n
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π
2

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3
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