Question

設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區(qū)間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0
（1）試判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（2）試求方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2008，2008]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用條件先求出函數(shù)的周期，再求出f（-3）=f（7）≠0，而f（3）=0，f（-3）≠-f（3）根據(jù)奇偶性的定義可知該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）根據(jù)周期函數(shù)性質(zhì)可知，只需求出一個(gè)周期里的根的個(gè)數(shù)，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)y=f（x）在[0，2008]上有402個(gè)解，在[-2008，0]上有400個(gè)解．

解答： 解：（1）由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），
得f（x）=f（4-x），且f（x）=f（14-x），
即f（4-x）=f（14-x）
∴f（x）=f（x+10），
即函數(shù)的周期為10．
又f（3）=0，而f（7）≠0，
∴f（-3）=f（7）≠0，
即f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）
故函數(shù)y=f（x）是非奇非偶函數(shù)；
（2）由（1）知，f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
∵在閉區(qū)間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，∴在[4，7]上無零點(diǎn)，
又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上無零點(diǎn)，故在[0，10]上僅有兩個(gè)解
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個(gè)解，
從而可知函數(shù)y=f（x）在[0，2008]上有402個(gè)解，在[-2008，0）上有401個(gè)解，
∴函數(shù)y=f（x）在[-2008，2008]上有803個(gè)解．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)的周期性和根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，有一定的難度．