【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷直線與曲線的位置關(guān)系;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,且與曲線交于兩點(diǎn),且,求的值.
【答案】(Ⅰ)直線與曲線相切(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)將極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程化為普通方程,再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,點(diǎn)坐標(biāo)為,且直線的斜率為,直線的傾斜角為,將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立,利用參數(shù)的幾何意義即可求解.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),曲線的參數(shù)方程為,
∴曲線的普通方程為,表示以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,
∵,
∴,
∴直線的直角坐標(biāo)方程為,
即,
∵到直線的距離為,
∴直線與曲線相切;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,點(diǎn)坐標(biāo)為,且直線的斜率為,
∴直線的傾斜角為,
∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
曲線的普通方程為,
將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,
整理,得,
∵直線與曲線交于兩點(diǎn),設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,
∴,
且,
∵,
∴,
解得(滿足),
∴的值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年月,中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足(表示碳原有的質(zhì)量),則經(jīng)過年后,碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>________;經(jīng)過測(cè)定,良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來的至,據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在________年到年之間.(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】齊王有上等,中等,下等馬各一匹;田忌也有上等,中等,下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽,若有優(yōu)勢(shì)的馬一定獲勝,則齊王的馬獲勝的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題:
①“若,則”的逆否命題為真命題
②“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件
③若為假命題,則,均為假命題
④對(duì)于命題:,,則為:,
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知函數(shù)(其中a是實(shí)數(shù)).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn) ,求取值范圍.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績(jī)中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),按成績(jī)分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);
(2)該校高一年級(jí)共有1000名學(xué)生,若本次考試成績(jī)90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙兩地生產(chǎn)同一種瓷器,現(xiàn)從兩地的瓷器中隨機(jī)抽取了一共300件統(tǒng)計(jì)質(zhì)量指標(biāo)值,得到如圖的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,其中甲地瓷器的質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間和的頻數(shù)相等.
甲地瓷器質(zhì)量頻率分布直方圖 乙地瓷器質(zhì)量扇形統(tǒng)計(jì)圖
(1)求直方圖中的值,并估計(jì)甲地瓷器質(zhì)量指標(biāo)值的平均值;(同一組中的數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(2)規(guī)定該種瓷器的質(zhì)量指標(biāo)值不低于125為特等品,且已知樣本中甲地的特等品比乙地的特等品多10個(gè),結(jié)合乙地瓷器質(zhì)量扇形統(tǒng)計(jì)圖完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩地的瓷器質(zhì)量有差異?
物等品 | 非特等品 | 合計(jì) | |
甲地 | |||
乙地 | |||
合計(jì) |
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國(guó)際羽毛球比賽規(guī)則從2006年5月開始,正式?jīng)Q定實(shí)行21分的比賽規(guī)則和每球得分制,并且每次得分者發(fā)球,所有單項(xiàng)的每局獲勝分至少是21分,最高不超過30分,即先到21分的獲勝一方贏得該局比賽,如果雙方比分為時(shí),獲勝的一方需超過對(duì)方2分才算取勝,直至雙方比分打成時(shí),那么先到第30分的一方獲勝.在一局比賽中,甲發(fā)球贏球的概率為,甲接發(fā)球贏球的概率為,則在比分為,且甲發(fā)球的情況下,甲以贏下比賽的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(R).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,求的取值范圍.
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