Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₀=2，a₁=3，a₂=6，且對(duì)n≥3時(shí)，有a_n=（n+4）a_n-1-4na_n-2+（4n-8）a_n-3．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-na_n-1，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n+1-2b_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記n×（n-1）×…×2×1=n!，求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（Ⅰ） 證明：由條件，得a_n-na_n-1=4[a_n-1-（n-1）a_n-2]-4[a_n-2-（n-2）a_n-3]，
則a_n+1-（n+1）a_n=4[a_n-na_n-1]-4[a_n-1-（n-1）a_n-2]．…2分
即b_n+1=4b_n-4b_n-1．又b₁=1，b₂=0，所以b_n+1-2b_n=2（b_n-2b_n-1），b₂-2b₁=-2≠0．
所以{b_n+1-2b_n}是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列． …4分b₂-2b₁=-2，所以b_n+1-2b_n=2^n-1（b₂-2b₁）=-2ⁿ．
兩邊同除以2ⁿ⁺¹，可得

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=-

1

2

．…6分
于是{

bn

2n

}為以

1

2

首項(xiàng)，-

1

2

為公差的等差數(shù)列．
所以

bn

2n

=

b1

2

-

1

2

(n-1)，得bn=2n(1-

n

2

)．…8分
（Ⅱ）a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（a_n-1-2^n-1），令c_n=a_n-2ⁿ，則c_n=nc_n-1．
而c₁=1，∴c_n=n（n-1）•…•2•1•c₁=n（n-1）•…•2•1．
∴a_n=n（n-1）•…•2•1+2ⁿ． …12分na_n=n•n•（n-1）•…•2•1+n2ⁿ=（n+1）!-n!+n•2ⁿ，
∴S_n=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）．…14分
令T_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，①
則2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹．②
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
∴S^=(n+1)!+(n-1)2n+1+1．…16分．