Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A（4，0），B（﹣4，﹣4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過P作y軸的平行線，分別交拋物線及x軸于C、D兩點．請問是否存在這樣的點P，使PD=2CD？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意 ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）解：∵A（4，0），B（﹣4，﹣4），

∴直線AB的解析式為y= x﹣2，

設P（m， m﹣2），其中﹣4＜m＜4，則C（m，﹣ m2+ m+2），PD=2﹣ m，CD=|﹣ m2+ m+2|，

① 當點C在x軸上方時，CD=﹣ m2+ m+2，由PD=2CD，

得2﹣ m=2（﹣ m2+ m+2），解得m=﹣1或4（舍棄），

∴P（﹣1，﹣ ）．

②當點C在x軸下方時，CD= m2﹣ m﹣2，由PD=2CD，得2﹣ m=2（ m2﹣ m﹣2），解得m=﹣3或4（舍棄），

∴P（﹣3，﹣ ），

綜上所述，點P的坐標為（﹣1，﹣ ）或（﹣3，﹣ ）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法把問題轉化為方程組解決．（2）設P（m， m﹣2），其中﹣4＜m＜4，則C（m，﹣ m2+ m+2），PD=2﹣ m，CD=|﹣ m2+ m+2|，分兩種情形①當點C在x軸上方時，CD=﹣ m2+ m+2，由PD=2CD，得2﹣ m=2（﹣ m2+ m+2），②當點C在x軸下方時，CD= m2﹣ m﹣2，由PD=2CD，列出方程即可解決問題．
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的圖象，需要了解二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能得出正確答案．