Question

現有A、B兩杯液體，其中A杯內液體為純水，密度為ρ_A，B杯內液體的密度ρ_B未知．為測量B杯內液體的密度，某同學在實驗室內利用刻度尺制作了一個有固定轉軸的杠桿，兩力臂長之比l₁：l₂=1：2．并用不同材質、相同厚度的板制成形狀相同的甲、乙兩把毫米刻度直尺，并將甲、乙兩把尺分別懸掛在杠桿的兩側端點上，如圖所示．此外，該同學還取來了一些橡皮泥．請你順著以上敘述，寫出某同學接下來的實驗步驟、需要測量的物理量，并推導得出用這些物理量求B杯內液體密度的計算公式．

Answer 1

分析：從本題的現有器材和部分實驗步驟可以看出，其整體思路得利用杠桿的平衡條件，找到未知液體的密度與水的密度的數量關系，最終得出表達式，求出未知液體的密度的．實驗中橡皮泥可起到對杠桿兩端進行配平的作用．浸入液體前兩側的力與力臂的乘積相等，浸入液體后，兩側的力減去各自的浮力，再乘以各自的力臂依然相等，根據這一關系，列出方程可最終求解．

解答：解：實驗步驟：
如右圖所示，在掛有直尺的杠桿左端或右端粘上一些橡皮泥，使杠桿平衡，然后將甲、乙兩把尺同時慢慢浸入A、B兩杯液體中一段長度，
在浸入過程中始終保持杠桿平衡，分別測出浸入液體的尺的長度h₁、h₂；
設甲、乙尺的寬度、厚度分別為a、b，尺的質量分別為m_甲、m_乙，
用橡皮泥配平后，杠桿的總質量為m．根據杠桿的平衡條件，兩把尺浸入液體前有：
m_甲gL₁=m_乙gL₂+mgL₀
當兩把尺浸入液體后有：
m_甲gL₁-ρ_Aabh₁gL₁=m_乙gL₂+mgL₀-ρ_Babh₂gL₂
由以上兩式可得：ρ_B=

h1L1

h2L2

ρA=

h1

2h2

ρA．

點評：解決本題的關鍵是對平衡條件的正確運用，通過兩次杠桿的平衡，分別列出方程，并用相關的公式進行分解，最終找出兩液體密度的關系．對方程的化簡處理主要用到了數學的知識，在計算難度上有一定的要求．