Question

20．一帶閥門的圓柱形容器，底面積是200cm²，裝有12cm深的水，正方體M邊長為10cm，重20N，用細(xì)繩懸掛放入水中，有$\frac{1}{5}$的體積露出水面，如圖所示，試求：
（1）正方體M的密度；
（2）正方體M受到的浮力以及此時水對容器底部的壓強(qiáng)；
（3）若從圖示狀態(tài)開始，通過閥門K緩慢放水，當(dāng)容器中水面下降了2cm時，細(xì)繩剛好被拉斷，則細(xì)繩能承受的最大拉力是多少？（g取10N/kg，水的密度為1.0×10³kg/m³）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方體M邊長為10cm，可求其體積大小，利用密度公式ρ=$\frac{m}{V}$求密度；
（2）由于用細(xì)繩懸掛放入水中，有$\frac{1}{5}$的體積露出水面，求出V_排，利用V=Sh求得放入水中后水深，再利用p=ρgh可求得圖示狀態(tài)下水對容器底部的壓強(qiáng)；
（3）根據(jù)容器的底面積和水面下降2cm時正方體M浸入水中的體積，利用F_浮=ρ_水gV_排即可求出此時M受到的浮力；由正方體重力和浮力即可求出細(xì)繩所能承受的最大拉力．

解答 解：
（1）正方體M的質(zhì)量m_M=2kg，
體積為V_M=L³=（10cm）³=1000cm³=1×10^-3m³，
所以，密度ρ_M=$\frac{{M}_{A}}{{V}_{A}}$=$\frac{2kg}{1×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=2×10³kg/m³；
（2）由于用細(xì)繩懸掛放入水中，有$\frac{1}{5}$的體積露出水面，則：
V_排=（1-$\frac{1}{5}$）V_A=$\frac{4}{5}$×1×10^-3m³=8×10^-4m³，
設(shè)M放入水中后水深為h′，則有Sh′=Sh+V_排1，
則h′=h+$\frac{{V}_{排}}{S}$=0.12m+$\frac{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}{200×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.16m，
此時水對容器底部的壓強(qiáng)：
p=ρ_水gH′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.16m=1.6×10³Pa．
（3）原來石塊M浸入水中深度為h₁=（1-$\frac{1}{5}$）L=$\frac{4}{5}$×10cm=8cm，
水面下降2cm時正方體M浸入水中深度為h₂=h₁-2cm=8cm-2cm=6cm，
則V_排2=h₂L²=6cm×（10cm）²=600cm³=6×10^-4m³，
F_浮2=ρ_水gV_排2=1.0×10³kg/m³×10N/kg×6×10^-4m³=6N；
當(dāng)繩子剛被拉斷時有：F_m+F_浮2=G，
所以細(xì)繩能承受的最大拉力F_max=G-F_浮′=20N-6N=14N．
答：（1）正方體M的密度為2×10³kg/m³；
（2）圖示狀態(tài)下水對容器底部的壓強(qiáng)為1.6×10³Pa；
（3）細(xì)繩能承受的最大拉力是14N．

點評 此題綜合性很強(qiáng)，且難度很大；此題的難點在（3）算出繩子斷的臨界拉力，增加的拉力就是排出水的重力，根據(jù)F_浮=ρ_水gL²h可求出此時A浸入水中深度，然后問題可解．