鄧?yán)蠋熢O(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：

入數(shù)據(jù)	1	2	3	4	5	6	…
輸出數(shù)據(jù)	1 2	2 7	3 14	4 23	5 34	6 47	…

那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是7時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是______．

回答下列問(wèn)題：
（1）填空：①（2×3）²=______；②2²×3²=______；③(-

1

2

×8)2=______；
④(-

1

2

)2×82=______；⑤(-

1

2

×2)3=______；⑥(-

1

2

)3×23=______；
（2）想一想：（1）中每組中的兩個(gè)算式的結(jié)果是否相等？______；
（3）猜一猜：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，（ab）ⁿ等于什么？______；
（4）試一試：(1

1

2

)2009×(-

2

3

)2009結(jié)果是多少？

按一定的規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：-2，5，-10，17，-26，…按此規(guī)律排下去，這列數(shù)中的第9個(gè)數(shù)是______．

古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21…叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，若把第一個(gè)三角形數(shù)記為a₁，第二個(gè)三角形數(shù)記為a₂，…，第n個(gè)三角形數(shù)記為a_n，計(jì)算a₂-a₁，a₃-a₂，a₄-a₃，…，由此推算，a₁₀₀-a₉₉=______，a₁₀₀=______．

觀察下列等式：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，…根據(jù)觀察可得：1+3+5+…+2n-1=______（n為正整數(shù)）．

按規(guī)律填數(shù)：

1

2

，-

1

6

，

1

12

，-

1

20

，

1

30

，______．

探究與思考：
①現(xiàn)定義某種運(yùn)算“*”，對(duì)任意兩個(gè)有理數(shù)a、b，有a*b=a^b，如（-3）*2=（-3）²=9．
試計(jì)算：(-

1

2

)*2=______，（-1）*（2*3）=______．
②現(xiàn)有若干個(gè)數(shù)，第1個(gè)數(shù)記為a₁，第二個(gè)數(shù)記為a₂，第三個(gè)數(shù)記為a₃…，第n個(gè)數(shù)記為a_n，若a1=-

1

2

，從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面的那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)．”
（1）試計(jì)算a₂=______，a₃=______，a₄=______．
（2）根據(jù)以上結(jié)果，請(qǐng)你寫出a₂₀₁₁=______，a₂₀₁₂=______．

觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：
（1）請(qǐng)你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對(duì)應(yīng)的等式：
4×0+1=4×1-3；①
4×1+1=4×2-3；②
4×2+1=4×3-3；③
______；④
______；⑤
…
…
（2）通過(guò)猜想，寫出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式．

觀察下列算式，完成后面題目：

1

1×2

=

1

1

-

1

2

1

2×3

=

1

2

-

1

3

1

3×4

=

1

3

-

1

4

（1）

1

n×(n+1)

=______；
（2）計(jì)算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2007×2008

．

探索研究：
（1）觀察一列數(shù)2，4，8，16，32，…，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是______；根據(jù)此規(guī)律，如果a_n（n為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，那么a₁₈=______，a_n=______；
（2）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令s=1+3+3²+3³+…+3²⁰①
將①式兩邊同乘以3，得②
由②減去①式，得S=______．
（3）用由特殊到一般的方法知：若數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n，從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比的常數(shù)為q，則a_n=______（用含a₁，q，n的代數(shù)式表示），如果這個(gè)常數(shù)q≠1，那么a₁+a₂+a₃+…+a_n=______（用含a₁，q，n的代數(shù)式表示）．