探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時，求證：△ABP∽△PCD．

拓展：如圖③，在△ABC中，點P是邊BC的中點，點D、E分別在邊AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6，CE=4，則DE的長為　 　．

（Ⅰ）若設AP＝x，則PC＝　 　，QC＝　 　；（用含x的代數式表示）

（Ⅱ）當∠BQD＝30°時，求AP的長；

（Ⅲ）在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

【題目】閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用﹣1來表示的小數部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是的小數部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整數部分為2，小數部分為（﹣2）．

請解答：

（1）的整數部分是　 　，小數部分是　 　．

（2）如果的小數部分為a，的整數部分為b，求a+b﹣的值．

（3）已知x是3+的整數部分，y是其小數部分，直接寫出x﹣y的值．

（1）x3x4x5

（2）；

（3）（﹣2mn2）2﹣4mn3（mn+1）；

（4）3a2（a3b2﹣2a）﹣4a（﹣a2b）2

【題目】將繞點按逆時針方向旋轉度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得，即如圖①，我們將這種變換記為．

如圖①，對作變換得，則________；直線與直線所夾的銳角為________度；

如圖②，中，，，對作變換得，使點、、在同一直線上，且四邊形為矩形，求和的值；

如圖③，中，，，，對作變換得，使點、、在同一直線上，且四邊形為平行四邊形，求和的值．

【題目】如圖，為中的一條射線，點在邊上，于，交于點，交于點，于點，交于點，連接交于點．

求證：四邊形為矩形；

若，試探究與的數量關系，并說明理由．

【題目】已知正方形，點為射線上的一點（不和點、重合），過作，且，過作交射線于．若的面積與四邊形的面積之比為，則________．