已知拋物線y＝(k－1)x²＋(2＋4k)x＋1－4k過點A(4，0)．

(1)試確定拋物線的解析式及頂點B的坐標；

(2)在y軸上確定一點P，使線段AP＋BP最短，求出P點的坐標；

(3)設M為線段AP的中點，試判斷點B與以AP為直徑的⊙M的位置關系，并說明理由．

我們給出如下定義：三角形三條中線的交點稱為三角形的重心．一個三角形有且只有一個重心．可以證明三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍．

可以根據(jù)上述三角形重心的定義及性質(zhì)知識解答下列問題：

如圖，∠B的平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直，并且BE＝AD＝4

(1)猜想AG與GD的數(shù)量關系，并說明理由；

(2)求△ABC的三邊長．

如圖，在直角坐標系xoy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸上，且OC＝，tan∠OAC＝，將△OAC沿AC翻折使點O落在坐標平面內(nèi)的B點處．

(1)求B點的坐標；

(2)二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c的圖象經(jīng)過O、B、A三點，求這個二次函數(shù)的解析式；

(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象上是否存在一點P，使以P、A、B、O為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出P點坐標，若不存在，說明理由．

如圖，邊長為1的正方形OABC的頂點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上.動點D在線段BC上移動(不與B，C重合)，連接OD，過點D作DE⊥OD，交邊AB于點E，連接OE．記CD的長為t．

(1)當t＝時，求直線DE的函數(shù)表達式；

(2)如果記梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由；

(3)當OD²＋DE²的算術平方根取最小值時，求點E的坐標．

如圖，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，AD⊥BC于D．點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1 cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2 cm/s．設它們運動的時間為x(s)．

(1)求x為何值時，PQ⊥AC；

(2)設△PQD的面積為y(cm²)，當0＜x＜2時，求y與x的函數(shù)關系式；

(3)當0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系．請寫出相應位置關系的x的取值范圍(不要求寫出過程)．

如圖，菱形ABCD的邊長為6 cm，∠DAB＝60°，點M是邊上AD上一點，且DM＝2 cm，點E、F分別從A、C同時出發(fā)，以1 cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點B運動，EM、CD的延長線相交于G，AD交于O．設運動時間為x(s)，△CGF的面積為y(cm²)．

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式；

(2)當x為何值時，GF⊥AD?

是否存在某一時刻，使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為3∶7？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

(參考數(shù)據(jù)：41²＝1681，49²＝2401，51²＝2601，59²＝3481)

如圖，在平面直角坐標系中，兩個函數(shù)y＝x，y＝－x＋6的圖象交于點A. 動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，作PQ∥x軸交直線BC于點Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設它與△OAB重疊部分的面積為S．

(1)求點A的坐標；

(2)試求出點P在線段OA上運動時，S與運動時間t(秒)的關系式；

(3)在(2)的條件下，S是否有最大值？若有，求出t為何值時，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請說明理由；

(4)若點P經(jīng)過點A后繼續(xù)按原方向、原速度運動，當正方形PQMN與△OAB重疊部分面積最大時，運動時間t滿足的條件是什么．

在平面直角坐標系中，已知A(0，3)，B(4，0)，設P，Q分別是線段AB，OB上的動點，它們同時出發(fā)，點P以每秒3個單位的速度從點A向點B運動，點Q以每秒1個單位的速度從點B向點O運動，設運動時間為t(秒)．

(1)用含t的代數(shù)式表示點P的坐標；

(2)當t為何值時，△OPQ為直角三角形？

(3)在什么條件下，以Rt△OPQ的三個頂點能確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線？選擇一種情況，求出所確定的拋物線的解析式．

如圖，已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內(nèi)，AB與y軸正半軸相交于點E，點B的坐標是(－1，0)，P點是AC上的動點(P點與A，C兩點不重合)．

(1)寫出點A，點E的坐標．

(2)若拋物線y＝－x²＋bx＋c過A，E兩點，求拋物線的解析式．

(3)連結(jié)PB，PD．設l為△PBD的周長，當l取最小值時，求點P的坐標及l的最小值，并判斷此時點P是否在(2)中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在線段BC上任取一點P，連結(jié)DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點E．

(1)試確定CP＝3時，點E的位置；

(2)若設CP＝x，BE＝y(tǒng)，試寫出y關于自變量x的函數(shù)關系式；

(3)若在線段BC上能找到不同的兩點P₁，P₂，使按上述作法得到的點E都與點A重合，試求出此時a的取值范圍．