如圖正三角形邊長(zhǎng)為a，以三邊為弦作弧交于△ABC的外心O，求所得菊形面積．

如圖(1)要將一塊直徑為2m的半圓形鐵皮加工成一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面和一個(gè)圓錐的底面．

操作：

方案一：在圖(1)中設(shè)計(jì) 一個(gè)使圓柱一個(gè)底面最大，半圓形鐵皮得以充分利用的方案(要求：畫(huà)示意圖)．

方案二：在圖(2)中設(shè)計(jì)一個(gè)使圓柱兩個(gè)底面最大，半圓形鐵皮得以充分利用的方案(要求：畫(huà)示意圖)．

探究：(1)求方案一中圓錐底面的半徑．(2)求方案(2)中，圓 錐底面的半徑．(3)設(shè)方案二中半圓圓心為O，圓柱兩個(gè)底面的圓心為O₁，O₂，圓錐底面的圓心為O₃，試判斷以O(shè)₁，O₂，O₃，O為頂點(diǎn)四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明求解．

如圖(1)⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P，C是⊙O₁上任一點(diǎn)(與點(diǎn)P不重合)實(shí)驗(yàn)操作：將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)O₁，另一條直角邊所在直線交⊙O₂于點(diǎn)A、B，直線PA、PB分別交⊙O₁于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE(圖(2)是實(shí)驗(yàn)操作備用圖)

探究：(1)你發(fā)現(xiàn)，有什么關(guān)系？用你學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明你的發(fā)現(xiàn)；

(2)你發(fā)現(xiàn)線段CE，PE，BF有怎樣的比例關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)．

(3)如圖(3)若將上述問(wèn)題⊙O₁和⊙O₂由內(nèi)切變?yōu)橥馇�，其他條件不變，請(qǐng)你探索線段CE、PE、BF有怎樣的比例關(guān)系，并證明．

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，P是⊙O₁上一點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交⊙O₂于點(diǎn)C，PA交⊙O₂于點(diǎn)D，CD的延長(zhǎng)線⊙O₁于點(diǎn)N．

(1)過(guò)點(diǎn)A作AE∥CN，交⊙O₁于點(diǎn)E，求證PA＝PE．

(2)連結(jié)PN，若PB＝4，BC＝2，求PN的長(zhǎng)．

如圖，AB是⊙O直徑，延長(zhǎng)BA到P，PC是⊙O切線，切點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)B作PC垂線交⊙O于D，交PC于點(diǎn)E，PA＝1，PC∶OD＝∶1，求BC、CE長(zhǎng)．

如圖已知半徑R，銳角△ABC的內(nèi)接圓⊙O，且BC＝a，(1)求證：＝2R；(2)若BC邊上高為AD，求證AB·AC＝2R·AD，并指出點(diǎn)A在什么位置時(shí)AB·AC值最大？(3)若sin∠BAC＝，BC＝4，當(dāng)AB·AC的值最大時(shí)，求△ABC面積．

閱讀下列問(wèn)題再解答：如圖所示，AB是⊙O直徑，CD是弦且CD⊥AB，點(diǎn)E是中點(diǎn)，連CE，DE則DE∥AB，若D點(diǎn)、B點(diǎn)、A點(diǎn)不動(dòng)，C點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)使∠ECD不變，那么DE與AB還平行嗎？結(jié)論是平行的．

理由：C點(diǎn)在不斷運(yùn)動(dòng)中∠ECD不變，即＝，如圖(2)，∵∠DCE＝∠ECB，E是中點(diǎn)，∴AB∥DE．

問(wèn)題：如圖，⊙O直徑AB＝8，D是半圓(A，B除外)上任一點(diǎn)，∠ADB的平分線交⊙O于C，弦EF過(guò)AC，BC的中點(diǎn)M，N．(1)不論D怎么運(yùn)動(dòng)，△ABC是一個(gè)怎樣特殊三角形；(2)求EF的長(zhǎng)．

如圖所示，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CD是⊙O直徑，過(guò)C點(diǎn)的直線l交AB所在直線于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．

(1)判定圖中∠CEB與∠FDC大小關(guān)系，并寫(xiě)出結(jié)論；

(2)將直線l繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(與CD不重合)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)位置也隨之變化，請(qǐng)你在下面的兩個(gè)備用使(1)結(jié)論仍然成立的圖形，標(biāo)相應(yīng)字母，選其中一個(gè)圖形給予證明．

如圖，AB是⊙O直徑，直線l交⊙O于C、D兩點(diǎn)，分別作直線l的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)OE，OF，(1)求證：CE＝DF，OE＝OF；(2)若AB＝10，CD＝8，求AE＋BF的長(zhǎng)．

1．已知如圖所示，BC為半圓O的直徑，AB⊥BC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)B作弦BF交AD于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F，弦AC與BF交于點(diǎn)H，且AE＝BE，求證：(1)＝；(2)AH·BC＝2AB·BE．

2．在上題中若加上條件sin∠FBC＝，AB＝4，求AD的長(zhǎng)．