Question

如圖(1)要將一塊直徑為2m的半圓形鐵皮加工成一個圓柱的兩個底面和一個圓錐的底面．

操作：

方案一：在圖(1)中設計 一個使圓柱一個底面最大，半圓形鐵皮得以充分利用的方案(要求：畫示意圖)．

方案二：在圖(2)中設計一個使圓柱兩個底面最大，半圓形鐵皮得以充分利用的方案(要求：畫示意圖)．

探究：(1)求方案一中圓錐底面的半徑．(2)求方案(2)中，圓 錐底面的半徑．(3)設方案二中半圓圓心為O，圓柱兩個底面的圓心為O₁，O₂，圓錐底面的圓心為O₃，試判斷以O₁，O₂，O₃，O為頂點四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明求解．

　

Answer 1

答案：
解析：

解答：方案一：如圖(1)OO3是圓錐底面，⊙O1和⊙O2是圓柱底面， 　　方案二，如圖(2)⊙O1，⊙O2是圓柱底面，⊙O3是圓錐底面． 　　(1)圓錐的半徑為2×＝0.5m． 　　(2)如圖(2)．連結OO1，OO2，O2O3，O1O3，O1O2，設⊙O1與⊙O2半徑為y m，⊙O3半徑為x m，⊙O1與⊙O2外切于點D，⊙O1切AB于點C，連結O1C，則OD⊥O1O2，O1C⊥AB，四邊形O1COD是正方形，∴OD＝y，OO1＝y，又OO1＝1－y，∴y＝1－y，y＝－1，即圓柱底面半徑為(－1)m． 　　在Rt△O1O3O中，∵O3D＝1－y－x，O1O3＝x＋y，O1D＝y，∴(x＋y)2＝(1－x－y)2＋y2，∴x＝，即圓錐底面半徑為(3－2)m． 　　(3)∵四邊形OO1O3O2是正方形，∴由(2)知O1O3＝x＋y＝2－，O1O＝1－y＝2－，同理OO2＝O2O3＝O1O3＝O1O，O1O2＝2－2，OO3＝2－2，∴OO1O3O2是正方形．

提示：

名師導引：綜合運用兩圓相切的性質，勾股定理，線段間關系建立方程求解，兩圓相切連心線必過切點，以及圓的軸對稱性質，運用如圖(2)中O1O2關于OO3對稱，OO3出關于O1、O2連線對稱． 　　探究點：由圓的連心線，圓的軸對稱性構造Rt△，運用相切時兩圓半徑存在關系結合勾股定理，建立方程求解．