Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，AB+CD=AD，求證：
（1）AE、DE分別平分角∠A和∠D；
（2）∠DEA=90°．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題,證明題

分析：（1）作DE的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，根據(jù)題意可證，△DCE≌△MBE，又AB+CD=BC，且E是DM的中點(diǎn)，可證△ADM為等腰三角形，即得得出答案．
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：證明：（1）如圖所示，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠M，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
在△DCE和△MBE中，

∠CDE=∠M ∠CED=∠BEM CE=BE

∴△DCE≌△MBE（AAS）．
∴BM=CD，DE=ME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．
∵AB+CD=AD，
∴DE+DC=AD，即AM=AD，
又∵DE=ME，
∴∠DAE=∠MAE，
即AE平分∠DAB，
同理DE平分∠CDA；

（2）∵AD=AM，DE=EM，
∴AE⊥DM，
∴∠DEA=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，本題考查了判定三角形全等的定理以及線段常量的靈活計(jì)算，等腰三角形的中線，底邊上的高和垂線互相重合．