Question

【題目】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖，在中，，為邊所在直線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合)，連結(jié)，以為邊作，且，根據(jù)，得到，結(jié)合，得出，發(fā)現(xiàn)線段與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；

（1）探究證明：如圖，在和中，，，且點(diǎn)在邊上滑動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合)，連接．

①則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為_____；

②求證: ；

（2）拓展延伸：如圖，在四邊形中，．若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①BC =CE+CD；②見(jiàn)解析；（2）AD＝6．

【解析】

（1）①根據(jù)題中示例方法，證明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，從而得出BC=CE+CD；

②根據(jù)△BAD≌△CAE，得出∠ACE＝45°，從而得到∠BCE＝90°，則有DE2＝CE2+CD2，再根據(jù)可得結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AD，使AG=AD，連接CG、DG，可證明△BAD≌△CAG，得到CG＝BD，在直角△CDG中，根據(jù)CD的長(zhǎng)求出DG的長(zhǎng)，再由DG和AD的關(guān)系求出AD.

解：（1）①如圖2，在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，

∴ BC=BD+CD=CE+CD，

故答案為：BC=BD+CD=CE+CD．

②∵△BAD≌△CAE，

∴∠B＝∠ACE＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠BCE＝45°+45°＝90°，

∴DE2＝CE2+CD2，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴，

∴2AD2＝BD2+CD2；

（3）如圖3，

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AD，使AG=AD，連接CG、DG，

則△DAG是等腰直角三角形，

∴∠ADG＝45°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠GDC＝90°，

同理得：△BAD≌△CAG，

∴CG＝BD＝13，

在Rt△CGD中，∠GDC＝90°，

，

∵△DAG是等腰直角三角形，

∴，

∴AD＝＝6．