Question

【題目】如圖，點(diǎn)D為的AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)前E為AD的中點(diǎn)，為正三角形，給出下列結(jié)論，①,②，③，④若，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到、邊的距離分別為，，則的最小值是3.其中正確的結(jié)論是_________（填寫正確結(jié)論的番號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由題意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根據(jù)含有30°的直角三角形的性質(zhì)可判斷①②③，易證四邊形PMCN是矩形，可得d12＋d22＝MN2＝CP 2，根據(jù)垂線段最短，可得CP的值即可求d12＋d22的最小值，即可判斷④．

∵D是AB中點(diǎn)，

∴AD＝BD

∵△ACD是等邊三角形，E是AD中點(diǎn)，

∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB，

∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝，

故①③正確，②錯(cuò)誤；

∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°.

∴∠ACB＝90°.

若AC＝2，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到AC、BC邊的距離分別為d1，d2，

∴四邊形PMCN是矩形，

∴MN＝CP，

∵d12＋d22＝MN2＝CP2，

∴當(dāng)CP為最小值，d12＋d22的值最小，

∴根據(jù)垂線段最短，則當(dāng)CP⊥AB時(shí)，d12＋d22的值最小，

此時(shí)：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB，

∴CP＝，

∴d12＋d22＝MN2＝CP2＝3，

即d12＋d22的最小值為3，

故④正確；

故答案為：①③④