Question

【題目】感知：如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是邊BC上一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)．連接AD，將AD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DE，連接BE，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F，可知△ADF≌△EDB，則∠ABE的大小為________．

探究：如圖②，在△ABC中，∠C＝α(0°＜α＜90°)，AC＝BC，D是邊BC上一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)，連接AD，將AD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到DE，連接BE，求證：∠ABE＝α.

應(yīng)用：設(shè)圖②中的α＝60°，AC＝2.當(dāng)△ABE是直角三角形時(shí)，AE＝________．

Answer 1

【答案】感知：∠ABE＝90°；探究：證明見解析；應(yīng)用：AE＝.

【解析】

感知：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝∠C＝90°，即可得∠AFD＝∠FDB＋∠FBD＝135°；已知△ADF≌△EDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠DBE＝∠AFD＝135°，即可求得∠ABE＝90°；探究：過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F（如圖），則∠DFB＝∠CAB，∠FDB＝∠C＝α，已知CA＝CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAB＝∠CBA，由等量代換可得∠DFB＝∠DBF；根據(jù)等腰三角形的判定可得DF＝DB，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ADF＝∠EDB，即可證明△ADF≌△EDB，由全等三角形的性質(zhì)可得∠DBE＝∠AFD, 即可得∠ABE＝∠FDB＝∠C＝α；應(yīng)用：已知α＝60°，CA＝CB，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得△ABC是等邊三角形，即可得BA＝AC＝2，又因∠ABE＝∠C＝60°，∠AEB＝90°，即可求得AE＝ .

感知：

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∴∠AFD＝∠FDB＋∠FBD＝135°，

∵△ADF≌△EDB，

∴∠DBE＝∠AFD＝135°，

∴∠ABE＝135°－45°＝90°.

故答案為：90°.

探究：證明：如圖，

過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F，則∠DFB＝∠CAB，∠FDB＝∠C＝α，

∵CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴DF＝DB，

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠ADF＝∠EDB，

在△ADF和△EDB中，

∴△ADF≌△EDB，

∴∠DBE＝∠AFD,

∵∠DBE＝∠ABE+∠ABC，∠AFD＝∠ABC+∠FDB，

∴∠ABE＝∠FDB，

∴∠ABE＝∠C＝α.

應(yīng)用：∵α＝60°，CA＝CB，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BA＝AC＝2，

∵∠ABE＝∠C＝60°，∠AEB＝90°，

∴AE＝.