Question

【題目】在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果弧DE（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱弧DE為△ABC的中內(nèi)弧．例如，圖1中弧DE是△ABC其中的某一條中內(nèi)�。�

（1）如圖2，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．畫出△ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧DE，并直接寫出此時(shí)弧DE的長(zhǎng)；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，6），B（0，0），C（t，0），在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．

①若t＝2，求△ABC的中內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)的取值范圍；

②請(qǐng)寫出一個(gè)t的值，使得△ABC的中內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)可以取全體實(shí)數(shù)值．

Answer 1

【答案】（1）圖詳見(jiàn)解析，；（2）①m≤或m≥3；②t＝4．

【解析】

（1）如圖1中，由垂徑定理可知，圓心O在線段DE的垂直平分線上，當(dāng)點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心時(shí)，內(nèi)弧最長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

（2）如圖2中，由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，DE的垂直平分線交DE于F，作DO′交DE的垂直平分線于點(diǎn)O′．

①設(shè)O′（，m）由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心在線段DE上方射線FP上均可，可得m≥3．當(dāng)O′D⊥OA時(shí)，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，可得O′F＝，推出O′（，），根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)O′的下方（含點(diǎn)O′）時(shí)也符合要求，可得m≤．

②如圖3中，當(dāng)△AOC是等邊三角形時(shí)，內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)可以取全體實(shí)數(shù)值．此時(shí)t＝．

解：（1）如圖1中，由垂徑定理可知，圓心O在線段DE的垂直平分線上，

∵△ABC是等邊三角形，

∴當(dāng)點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心時(shí)，內(nèi)弧最長(zhǎng)，

在Rt△OHC中，

∵CH＝，∠OCH＝30°，

∴OH＝CHtan30°＝2，

∵∠ADE＝∠AEO＝90°，∠DAE＝60°，

∴∠DOE＝120°，

∴的長(zhǎng)＝＝．

（2）①如圖2中，

如圖2中，由垂徑定理可知，圓心一定在線段span>DE的垂直平分線上，DE的垂直平分線交DE于F，

①當(dāng)t＝時(shí)，C（，0），A（，6），

∴D（，3），E（，6），F（，3），

設(shè)O′（，m）由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心在線段DE上方射線FP上均可，∴m≥3

∵tan∠AOC＝＝，

∴∠AOC＝60°，

∵DE∥OC，

∴∠ADE＝60°，

當(dāng)O′D⊥OA時(shí)，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，

∴O′F＝，

∴O′（，），

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)O′的下方（含點(diǎn)O′）時(shí)也符合要求，

∴m≤，

綜上所述，m≤或m≥3．

②如圖3中，當(dāng)△AOC是等邊三角形時(shí)，內(nèi)弧DE所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)可以取全體實(shí)數(shù)值．此時(shí)t＝4．