【題目】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,經(jīng)過點(diǎn)A(1, );點(diǎn)F(0,1)在y軸上.直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P是(1)中圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M,求證:FM平分∠OFP;
(3)當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2,
將點(diǎn)A(1, )代入y=ax2得:a= ,
∴二次函數(shù)的解析式為y= x2
(2)
證明:∵點(diǎn)P在拋物線y= x2上,
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x2),
過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B,則BF=| x2﹣1|,PB=|x|,
∴Rt△BPF中,
PF= = x2+1,
∵PM⊥直線y=﹣1,
∴PM= x2+1,
∴PF=PM,
∴∠PFM=∠PMF,
又∵PM∥y軸,
∴∠MFH=∠PMF,
∴∠PFM=∠MFH,
∴FM平分∠OFP
(3)
解:當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí),∠PMF=60°,
∴∠FMH=30°,
在Rt△MFH中,MF=2FH=2×2=4,
∵PF=PM=FM,
∴ x2+1=4,
解得:x=±2 ,
∴ x2= ×12=3,
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2 ,3)或(﹣2 ,3)
【解析】(1)根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2 , 將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式,求出a的值,繼而可求得二次函數(shù)的解析式;(2)過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B,利用勾股定理求出PF,表示出PM,可得PF=PM,∠PFM=∠PMF,結(jié)合平行線的性質(zhì),可得出結(jié)論;(3)首先可得∠FMH=30°,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x2),根據(jù)PF=PM=FM,可得關(guān)于x的方程,求出x的值即可得出答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△EFG≌△NMH, ∠F與∠M是對(duì)應(yīng)角.
(1)寫出相等的線段與相等的角;
(2)若EF=2.1cm,FH=1.1cm,HM=3.3cm,求MN和HG的長(zhǎng)度.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C(0,1),點(diǎn)D為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E為第一象限內(nèi)一點(diǎn),且CE⊥CD,CE=CD.
(1)試說明:∠EBC=∠CAB ;
(2)取DE的中點(diǎn)F,連接OF,試判斷OF與AC的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,試探索O、D、F三點(diǎn)能否構(gòu)成等腰三角形,若能,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AD是∠BAC的平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn),則PC+PQ的最小值是( )
A. 2.4 B. 4.8 C. 4 D. 5
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,E、F是對(duì)角線BD上的點(diǎn),∠1=∠2.
(1)求證:BE=DF;
(2)求證:AF∥CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)計(jì)算:∣1-∣+ -(π-3.14)0
(2)已知 (x-1)2 =16,求x的值
(3)已知8(x-1)3 -27=0,求x的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,D是BC的中點(diǎn).
(1)作圖: ①過B作AC的平行線BH;
②過D作BH的垂線,分別交AC,BH,AB的延長(zhǎng)線于E,F(xiàn),G.
(2)在圖中找出一對(duì)全等的三角形,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC與△CED均為等邊三角形,且B,C,D三點(diǎn)共線.線段BE,AD相交于點(diǎn)O,AF⊥BE于點(diǎn)F.若OF=1,則AF的長(zhǎng)為( )
A. 1 B. C. D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A(﹣2,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),其對(duì)稱軸為直線x=1.
(1)直接寫出拋物線的解析式:;
(2)把線段AC沿x軸向右平移,設(shè)平移后A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、C′,當(dāng)C′落在拋物線上時(shí),求A′、C′的坐標(biāo);
(3)除(2)中的點(diǎn)A′、C′外,在x軸和拋物線上是否還分別存在點(diǎn)E、F,使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,求出E、F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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