【題目】如圖1,△ABC和△DEC均為等腰三角形,且∠ACB=DCE=90°,連接BE,AD,兩條線段所在的直線交于點P.

1)線段BEAD有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請說明理由.

2)若已知BC=12,DC=5,△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn),

①如圖2,當(dāng)點D恰好落在BC的延長線上時,求AP的長;

②在旋轉(zhuǎn)一周的過程中,設(shè)△PAB的面積為S,求S的最值.

【答案】(1)BE=AD,BEAD互相垂直,證明詳見解析;(2)①AP=;②最小47,最大72

【解析】

1)由題意根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),進行分析與等量代換即可;

2由題意根據(jù)解直角三角形的勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)進行分析即可;

∠APB=90°可知點P在以AB為直徑的圓的一段弧上,且當(dāng)BP與以CE為半徑⊙C相切時,點P在其運動路徑所在弧的兩個端點處,PAB的距離最小,此時△PAB的面積S最;當(dāng)點P與點C重合時,PAB的距離最大,此時△PAB的面積S最大.

解:(1BE=AD,BEAD互相垂直;

證明:等腰△ABC,等腰Rt△DEC,

∴AC=BC,DC=EC∠ACB=∠DCE=90°,

∴∠ACD=∠BCE

∴△ACD≌△BCE,

∴BE=AD∠CAD=∠CBE,

∵∠CAD+∠APB=∠CBE+∠ACB=∠AOB,

∴∠APB=∠ACB=90°,即BEAD互相垂直.

2①∵AB=BC=12,DC=EC=5,

∴AE=AC-EC=12-5=7

Rt△BCE中,BE=

由(1)同理可知∠APB=∠ACB=90°,∠CAD=∠CBE,

∴△APE∽△BCE

,即,解得AP=.

∠APB=90°可知點P在以AB為直徑的圓的一段弧上,且當(dāng)BP與以CE為半徑⊙C相切時,點P在其運動路徑所在弧的兩個端點處,PAB的距離最小,此時△PAB的面積S最小。如圖1、2,易知四邊形PDCE是邊長為5的正方形.

∴ BE=AD=,BP=BE+PE=AP=AD-PD=,

∴S(最小值)=×AP×BP=

當(dāng)點P與點C重合時,PAB的距離最大,此時△PAB的面積S最大,如圖3

S(最大值)=×AC×BC=×12×12=72.

練習(xí)冊系列答案
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送餐距離x(千米)

0x1

1x2

2x3

3x4

4x5

數(shù)量

12

20

24

16

8

1)從這80名點外賣的用戶中任取一名用戶,該用戶的送餐距離不超過3千米的概率為 ;

2)以這80名用戶送餐距離為樣本,同一組數(shù)據(jù)取該小組數(shù)據(jù)的中間值(例如第二小組(1x 2)的中間值是1.5),試估計利用該平臺點外賣用戶的平均送餐距離;

3)若該外賣平臺給送餐員的送餐費用與送餐距離有關(guān),不超過2千米時,每份3元;超過2千米但不超4千米時,每份5元;超過4千米時,每份9元. 以給這80名用戶所需送餐費用的平均數(shù)為依據(jù),若送餐員一天的目標收入不低于150元,試估計一天至少要送多少份外賣?

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A.①②B.②④C.①③D.③④

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1)設(shè)購買了A種消毒液x桶,購買消毒液的費用為y元,寫出yx之間的關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;

2)在現(xiàn)有資金不超過5 300元的情況下,求可消殺的最大面積.

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