【題目】已知拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過(﹣1,0),(3,0)兩點,與y軸交于點C,直線y=kx與拋物線交于A,B兩點.
(1)寫出點C的坐標(biāo)并求出此拋物線的解析式;
(2)當(dāng)原點O為線段AB的中點時,求k的值及A,B兩點的坐標(biāo);
(3)是否存在實數(shù)k使得△ABC的面積為 ?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:令拋物線y=ax2+bx﹣3中x=0,則y=﹣3,
∴點C的坐標(biāo)為(0,﹣3).
∵拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過(﹣1,0),(3,0)兩點,
∴有 ,解得: ,
∴此拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3
(2)
解:將y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得:kx=x2﹣2x﹣3,
整理得:x2﹣(2+k)x﹣3=0,
∴xA+xB=2+k,xAxB=﹣3.
∵原點O為線段AB的中點,
∴xA+xB=2+k=0,
解得:k=﹣2.
當(dāng)k=﹣2時,x2﹣(2+k)x﹣3=x2﹣3=0,
解得:xA=﹣ ,xB= .
∴yA=﹣2xA=2 ,yB=﹣2xB=2 .
故當(dāng)原點O為線段AB的中點時,k的值為﹣2,點A的坐標(biāo)為(﹣ ,2 ),點B的坐標(biāo)為( ,﹣2 )
(3)
解:假設(shè)存在.
由(2)可知:xA+xB=2+k,xAxB=﹣3,
S△ABC= OC|xA﹣xB|= ×3× = ,
∴(2+k)2﹣4×(﹣3)=10,即(2+k)2+2=0.
∵(2+k)2非負(fù),無解.
故假設(shè)不成了.
所以不存在實數(shù)k使得△ABC的面積為
【解析】(1)令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出C點的坐標(biāo),有點(﹣1,0)、(3,0)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)將正比例函數(shù)解析式代入拋物線解析式中,找出關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出“xA+xB=2+k,xAxB=﹣3”,結(jié)合點O為線段AB的中點即可得出xA+xB=2+k=0,由此得出k的值,將k的值代入一元二次方程中求出xA、xB , 在代入一次函數(shù)解析式中即可得出點A、B的坐標(biāo);(3)假設(shè)存在,利用三角形的面積公式以及(2)中得到的“xA+xB=2+k,xAxB=﹣3”,即可得出關(guān)于k的一元二次方程,結(jié)合方程無解即可得出假設(shè)不成了,從而得出不存在滿足題意的k值.本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程以及三角形的面積公式,解題的關(guān)鍵是:(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出k值;(3)利用反正法找出方程無解.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時,將正比例函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式中,利用三角形的面積公式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于k的方程是關(guān)鍵.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解拋物線與坐標(biāo)軸的交點(一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當(dāng)b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當(dāng)b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當(dāng)b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:某商場因換季,將一品牌服裝打折銷售,每件服裝如果按標(biāo)價的六折出售將虧10元,而按標(biāo)價的七五折出售將賺50元,問:
(1) 每件服裝的標(biāo)價是多少元?
(2) 每件服裝的成本是多少元?
(3)為保證不虧本,最多能打幾折?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,點D是AC的中點,直角∠EDF的兩邊分別交AB、BC于點E、F,給出以下結(jié)論:①AE=BF;②S四邊形BEDF=S△ABC;③△DEF是等腰直角三角形;④當(dāng)∠EDF在△ABC內(nèi)繞頂點D旋轉(zhuǎn)時D旋轉(zhuǎn)時(點E不與點A、B重合),∠BFE=∠CDF,上述結(jié)論始終成立的有( 。﹤.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在銳角△ABC中,∠ABC=45°,高線AD、BE相交于點F.
(1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
(2)如圖2,將△ACD沿線段AD對折,點C落在BD上的點M,AM與BE相交于點N,當(dāng)DE∥AM時,判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AB邊上,點D到點A的距離與點D到點C的距離相等.
(1)利用尺規(guī)作圖作出點D,不寫作法但保留作圖痕跡.
(2)若△ABC的底邊長5,周長為21,求△BCD的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個底面直徑為 5cm,高為 18cm 的圓柱形瓶內(nèi)裝滿水,再將瓶內(nèi)得水倒入一個底面直徑為 6cm,高為 10cm 的圓柱形玻璃杯中,能否完全裝下? 若裝不下,那么瓶內(nèi)水面還有多高? 若未能裝滿,求杯內(nèi)水面離杯口的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B、C是數(shù)軸上的三點,O是原點,BO=3,AB=2BO,5AO=3CO.
(1)寫出數(shù)軸上點A、C表示的數(shù);
(2)點P、Q分別從A、C同時出發(fā),點P以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,點Q以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,M為線段AP的中點,點N在線段CQ上,且CN=CQ.設(shè)運動的時間為t(t>0)秒.
①數(shù)軸上點M、N表示的數(shù)分別是 (用含t的式子表示);
②t為何值時,M、N兩點到原點的距離相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究規(guī)律,完成相關(guān)題目.
老師說:“我定義了一種新的運算,叫(加乘)運算.”
然后老師寫出了一些按照(加乘)運算的運算法則進(jìn)行運算的算式:
(+5)(+2)=+7;(-3)(-5)=+8;
(-3)(+4)=-7; (+5)(-6)=-11;
0(+8)=8;(-6)0=6.
小明看了這些算式后說:“我知道老師定義的(加乘)運算的運算法則了.”
聰明的你也明白了嗎?
(1)歸納(加乘)運算的運算法則:
兩數(shù)進(jìn)行(加乘)運算時,運算法則是什么.
特別地,0和任何數(shù)進(jìn)行(加乘)運算,或任何數(shù)和0進(jìn)行(加乘)運算運算法則是什么.
(2)計算:
①()[()].(括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致)
② 若()( ).求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖示我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周脾算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”,圖中的四個直角三角形是全等的,如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍,那么tan∠ADE的值為
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