Question

12．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，△ADC和△CEB全等嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）聰明的小亮發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，可得DE=AD+BE，請(qǐng)你說明其中的理由；
（3）小亮將直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，發(fā)現(xiàn)DE、AD、BE之間存在著一個(gè)新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出這一數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ACD=∠BCE，證明△ADC≌△CEB即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CD，CE=AD，結(jié)合圖形得到結(jié)論；
（3）與（1）的證明方法類似，證明△ADC≌△CEB即可．

解答 解：（1）△ADC≌△CEB．
理由如下：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵BE⊥MN，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠CEB=90°}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB；
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴BE=CD，CE=AD，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（3）DE=AD-BE．
證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥MN，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ECB}\\{∠ADC=∠CEB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意類比思想的應(yīng)用．