Question

1．已知拋物線l₁：y=-x²+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（4，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，-2）．
（1）求拋物線l₂的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線l₁于點(diǎn)M，交拋物線l₂于點(diǎn)N．
①當(dāng)四邊形AMBN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)CM=DN≠0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令拋物線l₁：y=0，可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)設(shè)拋物線l₂的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）①由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可求得AB的長(zhǎng)，設(shè)P（x，0），則M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．然后依據(jù)S_AMBN=$\frac{1}{2}$AB•MN列出S與x的函數(shù)關(guān)系，從而可得到當(dāng)S有最大值時(shí)，x的值，于是可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②CM與DN不平行時(shí)，可證明四邊形CDNM為等腰梯形，然后可證明GM=HN，設(shè)P（x，0），則M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．從而可列出關(guān)于x的方程，于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)CM∥DN時(shí)，四邊形CDNM為平行四邊形．故此DC=MN=5，從而得到關(guān)于x的方程，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵令-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
設(shè)拋物線l₂的解析式為y=a（x+1）（x-4）．
∵將D（0，-2）代入得：-4a=-2，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）①如圖1所示：

∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4．
設(shè)P（x，0），則M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．
∵M(jìn)N⊥AB，
∴S_AMBN=$\frac{1}{2}$AB•MN=-3x²+7x+10（-1＜x＜3）．
∴當(dāng)x=$\frac{7}{6}$時(shí)，S_AMBN有最大值．
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{6}$，0）．
②如圖2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN，
∴四邊形CDNM為等腰梯形．
∴∠DNH=∠CMG．
在△CGM和△DNH中$\left\{\begin{array}{l}{∠DNH=∠CMG}\\{∠DHN=∠CGM}\\{DN=CM}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△DNH．
∴MG=HN．
∴PM-PN=1．
設(shè)P（x，0），則M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．
∴（-x²+2x+3）+（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=1，解得：x₁=0（舍去），x₂=1．
∴P（1，0）．
當(dāng)CM∥DN時(shí)，如圖3所示：

∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四邊形CDNM為平行四邊形．
∴DC=MN．=5
∴-x²+2x+3-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=5，
∴x₁=0（舍去），x₂=$\frac{7}{3}$，
∴P（$\frac{7}{3}$，0）．
總上所述P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），或（$\frac{7}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定，依MN=DC=5、PM-PN=1列出關(guān)于P的橫坐標(biāo)x的方程是解題的關(guān)鍵．