Question

13．已知：如圖，△ABC中，內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，點(diǎn)D在⊙O上，AD⊥AB于點(diǎn)A，AD與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)在DA的延長(zhǎng)線上，且AF=AE．
（1）求證：BF與⊙O相切；
（2）若BF=5，cosC=$\frac{4}{5}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接BD，證明BF是⊙O的切線，只需證明∠FBD=90°；
（2）由Rt△BDF中的勾股定理進(jìn)行解答即可．

解答 證明：（1）連接BD，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴BD是直徑，BD過圓心，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠C=∠D，
∴△BEF是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ABF，
∴∠D=∠ABF，
又∵∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠D
=180°-∠BAD
=180°-90°
=90°，
∴∠ABD+∠ABF=90°，
∴∠DBF=90°，
∴OB⊥BF，
又∵OB是⊙O的半徑，
∴BF是⊙OA切線；
（2）∵∠C=∠D，
∴cosD=cosC=$\frac{4}{5}$，
在Rt△BDF中
cosD=$\frac{BD}{DF}=\frac{4}{5}$，
∴設(shè)BD=4x，DF=5x，
又∵BD²+BF²=DF²
∴（4x）²+5²=（5x）²
x=$\frac{25}{9}$，
∵x＞0
∴x=$\frac{5}{3}$，
∴BD=4×$\frac{5}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{10}{3}$
∴⊙O半徑為$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的判斷，關(guān)鍵是證明∠FBD=90°來證明BF是⊙O的切線．