Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，是上的點，交于點，連接．

（1）求證：；

（2）若，試證明：四邊形是菱形；

（3）在（2）的條件下，已知，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）先判斷出△ABC≌△ADC即可得到∠BAF＝∠DAC，再判斷出△ABF≌△ADF得出∠AFB＝∠AFD，即可得到；

（2）先由平行得到角相等，用等量代換得出∠DAC＝∠ACD，最后判斷出四邊相等；

（3）由（2）得到判斷出△BCF≌△DCF，結合BE⊥CD即可求解．

（1）在△ABC和△ADC中

，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC＝∠DAC，

在△ABF和△ADF中

，

∴△ABF≌△ADF，

∴；

（2）∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵∠BAC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∵AB＝AD，CB＝CD，

∴AB＝CB＝CD＝AD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（3）∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，

∵CF＝CF，

∴△BCF≌△DCF，

∴∠CBF＝∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC＝∠DEF＝90，

∴∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF =90

∴．