Question

【題目】綜合與實踐

動手實踐：數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片下面幾幅圖是學(xué)生們折出的一部分圖形（沿直線折疊）由于折痕所在的直線不同，折出的圖形也不同，各個圖形中所“隱含的”基本圖形也不同．我們可以通過發(fā)現(xiàn)基本圖形研究這些圖形中幾何問題．

問題解決：（1）如圖1，將矩形紙片沿直線折疊，使得點與點重合，點落在點的位置，連接，，，線段交于點，則與的關(guān)系為 ，線段與線段的關(guān)系為 ．

小強量得，則 ．

小麗說：“四邊形是菱形”，請你幫她證明．

拓展延伸：（2）如圖2，矩形紙片中，，，小明將矩形紙片沿直線折疊，點落在點的位置，交于點，請你直接寫出線段的長： ．

綜合探究：（3）如圖3，是一張矩形紙片，，．在矩形的邊上取一點，在上取一點，將紙片沿折疊，使線段與線段交于點，得到．請你確定面積的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】（1）全等，垂直，80°，證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）矩形紙片沿直線折疊，點落在點的位置，得，因為，所以≌，證明≌，可得MN⊥AC；已知，所以，可得，根據(jù)AD∥BC，得出，所以；

證明△ANO≌△AMO，根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形來判定四邊形是菱形．

（2）過點M作ME⊥AD，交AD于E，設(shè)NE=x，MN=，B1N=4-，AN=4-x，

在Rt△AB1M中利用勾股定理可求出x，即可求出ND

（3）先求△MNP面積的最小值，過點M作ME⊥DN，垂足為E，已知ME=AD=1，∠PNM=∠PMN，可得MP=NP，根據(jù)MPME，可得NP1，所以△MNP的面積值大于等于；

然后求△MNP面積可以取到的最大值，分兩種情況討論，情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點P也與D重合．情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC，分別求解△MNP的面積，此時為△MNP面積可取到的最大值，綜上所示即可求解出△MNP面積的取值范圍．

（1）∵矩形紙片沿直線折疊，點落在點的位置

∴

又∵

∴≌

∵矩形紙片沿直線折疊，點落在點的位置

∴≌

∴∠AOM=∠COM=90°

∴MN⊥AC

∵

∴

∵NA=NC

∴

∵AD∥BC

∴

∴

∵MN⊥AC

∴

∵，AO=AO

∴△ANO≌△AMO

∴ON=OM

又∵OA=OC，MN⊥AC

∴四邊形是菱形

故答案為：全等，垂直，80°，證明見解析

（2）過點M作ME⊥AD，交AD于E

設(shè)NE=x

MN=，B1N=4-，AN=4-x

在Rt△AB1M中

(4-x)2=32+(4-)2

解得x=

∴ND=NE+ED=2+=

故答案為：

（3）過點M作ME⊥DN，垂足為E，

ME=AD=1．

∵∠PNM=∠PMN，

∴MP=NP，

又∵MPME，

∴NP1．

∴△MNP的面積=NPME

∴△MNP的面積大于等于

情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點P也與D重合．

MP=MB=x，則AM=5x

由勾股定理得12+（5-x）2=x2

解得x=2.6

∴MD=ND=2.6

S△MNP==1.3

情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC

MP=AP=CP=x，則DP=5x

同理可得：MP=NP=2.6

∵MD=1，

∴S△MNP==1.3

△MNP的面積最大值為1.3．

綜上所述面積的取值范圍為≤S△MNP≤1.3