【題目】(本題共10分)AB和AC 相交于點(diǎn)A, BD和CD相交于點(diǎn)D,探究∠BDC與∠B 、 ∠C、∠BAC的關(guān)系.
小明是這樣做的:
解:以點(diǎn)A為端點(diǎn)作射線AD.
∵∠1是△ABD的外角,∴∠1= ∠B+∠BAD.
同理∠2=∠C+∠CAD.
∴∠1+∠2=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD.即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC.
小英的思路是:延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.
(1)按小英的思路完成∠BDC=∠B+∠C+∠BAC這一結(jié)論.
(2)按照上面的思路解決如下問(wèn)題:如圖:在△ABC中,BE、CD分別是∠ABC∠ACB的角平分線,交AC于E,交AB于D.BE、CD相交于點(diǎn)O,∠A=60°.求∠BOC的度數(shù).
(3)如圖:△ABC中,BO、CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線,且BO、CO相交于點(diǎn)O.猜想∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系,并加以證明.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)120°;(3)∠BOC=90°+ ∠A.
【解析】試題分析:
(1)按小英的思路:∠BDC是△DCE的外角,∠DEC是△ABE的外角,則由三角形外角的性質(zhì)可得;∠BDC=∠C+∠DEC,∠DEC=∠B+∠BAC,由此可得:∠BDC=∠C+∠B+∠BAC;
(2)由△ABC中,BE、CD分別是∠ABC∠ACB的角平分線,交AC于E,交AB于D.BE、CD相交于點(diǎn)O,可得∠ABO+∠ACO=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=60°,
再由(1)可得∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A=120°;
(3)由(2)可得:∠ABO+∠ACO=(180°-∠A)=90°-∠A,再由(1)可得:∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A=90°-∠A+∠A=90°+∠A.
試題解析:
(1)延長(zhǎng)BD交AC于E,
∵∠BDC= ∠C+∠CED,∠CED=∠BAC+∠B,
∴∠BDC=∠C+∠B+∠BAC;
(2)∵△ABC中,BE、CD分別是∠ABC∠ACB的角平分線,
∴∠ABE=∠ABC,∠ACD=∠ACB,
∴∠ABE+∠ACD=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=60°,
由(1)知∠BOC=∠ABE+∠ACD+∠A
∴∠BOC=60°+60°=120°;
(3)∠BOC與∠A的關(guān)系:∠BOC=90°+∠A,理由如下:
∵△ABC中,BO、CO分別是∠ABC∠ACB的角平分線,
∴∠ABO=∠ABC,∠ACO=∠ACB,
∴∠ABO+∠ACO=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A,
又∵由(1)可知:∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A,
∴∠BOC=90°-∠A+∠A=90°+∠A.
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【題目】直線y=(3﹣π)x經(jīng)過(guò)的象限是( )
A.一、二象限
B.一、三象限
C.二、三象限
D.二、四象限
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【題目】下列說(shuō)法正確的是( 。
A.線段AB和線段BA表示的不是同一條線段B.x2y的系數(shù)是1,次數(shù)是2
C.多項(xiàng)式4x2y﹣2xy+1的次數(shù)是3D.射線AB和射線BA表示的是同一條射線
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【題目】如圖:在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=90°,∠F=90°,BC=EF.請(qǐng)你添加一個(gè)條件:_____________________,使△ABC≌△DEF.
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【題目】下列運(yùn)算,計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的是( )
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【題目】已知關(guān)于x的方程
(1)求證:無(wú)論取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程恒有實(shí)數(shù)根;
(2)若關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),求m的整數(shù)值.
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【題目】若xm÷x2n+1=x,則m與n的關(guān)系是( )
A. m=2n+1 B. m=﹣2n﹣1 C. m﹣2n=2 D. m﹣2n=﹣2
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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓O上的兩點(diǎn),且OD∥BC,OD與AC交于點(diǎn)E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度數(shù);
(2)若AB=4,AC=3,求DE的長(zhǎng).
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