【題目】如圖1,在△ABC中,點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn),直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),若B、P在直線a的異側(cè),BM直線a于點(diǎn)M,CN直線a于點(diǎn)N,連接PM、PN;
(1) 延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)。求證:△BPM≌△CPE;求證:PM=PN;
(2) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè),其它條件不變。此時(shí)
PM=PN還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;
(3) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí),其它條件不變。請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN
的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎?不必說明理由。
【答案】(1)見解析;(2)成立;(3)成立
【解析】
試題分析:(1)①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠MBP=∠ECP再根據(jù)BP=CP,∠BPM=∠CPE即可得到;
②由△BPM≌△CPE,得到PM=PE則PM=ME,而在Rt△MNE中,PN=ME,即可得到PM=PN.
(2)證明方法與②相同.
(3)四邊形MBCN是矩形,則PM=PN成立.
(1)①如圖2:
∵BM⊥直線a于點(diǎn)M,CN⊥直線a于點(diǎn)N,
∴∠BMA=∠CNM=90°,
∴BM∥CN,
∴∠MBP=∠ECP,
又∵P為BC邊中點(diǎn),
∴BP=CP,
又∵∠BPM=∠CPE,
∴△BPM≌△CPE,
②∵△BPM≌△CPE,
∴PM=PE
∴PM=ME,
∴在Rt△MNE中,PN=ME,
∴PM=PN.
(2)成立,如圖3,延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,
∵BM⊥直線a于點(diǎn)M,CN⊥直線a于點(diǎn)N,
∴∠BMN=∠CNM=90°
∴∠BMN+∠CNM=180°,
∴BM∥CN
∴∠MBP=∠ECP,
又∵P為BC中點(diǎn),
∴BP=CP,
又∵∠BPM=∠CPE,
∴△BPM≌△CPE,
∴PM=PE,
∴PM=ME,
則Rt△MNE中,PN=ME,
∴PM=PN.
(3)如圖4:
四邊形M′BCN′是矩形,
根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點(diǎn),得到△M′BP≌△N′CP,
得PM′=PN′成立.即“四邊形MBCN是矩形,則PM=PN成立”.
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(1)13+23+33+43+53=________=× ( )2 × ( )2
(2)猜想:13+23+33+…+n3=___________
(3)利用(2)中的結(jié)論計(jì)算:(寫出計(jì)算過程)
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