Question

設H是等腰三角形ABC的垂心．在底邊BC保持不變的情況下，讓頂點A至底邊BC的距離變小，問這時乘積S_△ABC•S_△HBC的值變大？變��？還是不變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：切割線定理,菱形的判定與性質(zhì)

專題：證明題,幾何綜合題

分析：構(gòu)造以垂心為頂點的菱形HBGC（圖），并借助于四點共圓是完成本題的一條捷徑．

解答：證明：延長HD至G，使DG=HD，連BH、CH、BG、CG，易證四邊形HBGC是菱形，則∠3=∠1．
因H是垂心，
故A、B、D、E四點共圓，∠1=∠2，
從而∠2=∠3，A、B、G、C四點共圓，AD•DG=BD•CD，
又DG=HD，
故AD•HD=

1

4

BC2．
從而S_△ABC•S_△HBC=

1

2

•AD•BC•

1

2

HD•BC=

1

16

BC4（定值）．

點評：本題考查的是切割線定理，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的面積．