Question

3．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）求證：BC²=2CD•OE；
（3）若cosC=$\frac{2}{3}$，DE=4，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD，OD，運用直徑所對的圓周角為90°，結合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，即可求證；
（2）通過證明△BCD∽△ACB，結合三角形的中位線定理即可證明；
（3）在直角三角形BDC和直角三角形ABC中，運用三角函數(shù)即可求出CD和AC的值，進而求解．

解答 解：（1）如圖1，

連接BD，OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E是BC的中點，
∴DE=CE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠3=∠4，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∴∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴DE與⊙O相切；
（2）如圖2，

在直角三角形ABC中，∠C+∠A=90°，
在直角三角形BDC中，∠C+∠4=90°，
∴∠A=∠4，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
∴BC²=AC•CD，
∵O是AB的中點，E是BC的中點，
∴AC=2OE，
∴BC²=2CD•OE；
（3）如圖3，

由（2）知，DE=$\frac{1}{2}$BC，又DE=4，
∴BC=8，
在直角三角形BDC中，$\frac{CD}{BC}$=cosC=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{16}{3}$，
在直角三角形ABC中，$\frac{BC}{AC}$=cosC=$\frac{2}{3}$，
∴AC=12，
∴AD=AC-CD=$\frac{20}{3}$．

點評 此題主要考查圓的綜合問題，會運用垂直證明圓的切線，會組織條件證明三角形相似，會靈活運用三角函數(shù)求線段是解題的關鍵．