【題目】如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形,點(diǎn)P,Q分別從頂點(diǎn)A,B同時(shí)出發(fā),沿線段AB,BC運(yùn)動(dòng),且它們的是速度都為1厘米/秒.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí),AP的長(zhǎng)為 厘米,QC的長(zhǎng)為 厘米;(用含t的式子表示)
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
(3)連接AQ、CP,相交于點(diǎn)M,如圖2,則點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠CMQ會(huì)變化嗎?若變化,則說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求出它的度數(shù).
【答案】(1)t,4﹣t;(2)當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí),△PBQ為直角三角形;(3)∠CMQ=60°不變,理由見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度表示出AP、BQ的長(zhǎng),再根據(jù)BC的長(zhǎng)即可表示出CQ的長(zhǎng);
(2)需要分類討論:分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況;
(3)∠CMQ=60°不變.通過(guò)證△ABQ≌△CAP(SAS)得到:∠BAQ=∠ACP,所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.
試題解析:(1)依題意得:AP=t,QC=4﹣t.
故答案是:t;4﹣t;
(2)設(shè)時(shí)間為t,則AP=BQ=t,PB=4﹣t,
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí),
∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,得4﹣t=2t,t=;
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí),
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,得t=2(4﹣t),t=;
∴當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí),△PBQ為直角三角形;
(3)∠CMQ=60°不變.理由如下:
∵在△ABQ與△CAP中 ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我校為了創(chuàng)建“書(shū)香校園”,購(gòu)買了一批圖書(shū),其中科普類圖書(shū)平均每本的 價(jià)格比文學(xué)類圖書(shū)平均每本的價(jià)格多4元,已知學(xué)校用16000元購(gòu)買的科普類圖書(shū)的本數(shù)與用12000元購(gòu)買的文學(xué)類圖書(shū)的本數(shù)相等.求學(xué)校購(gòu)買的科普類圖書(shū)和文學(xué)類圖書(shū)平均每本的價(jià)格各是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為聲援揚(yáng)州“運(yùn)河申遺”,某校舉辦了一次運(yùn)河知識(shí)競(jìng)賽,滿分10分,學(xué)生得分為整數(shù),成績(jī)達(dá)到6分以上(包括6分)為合格,達(dá)到9分以上(包含9分)為優(yōu)秀.這次競(jìng)賽中甲乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.
(1)補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表:
組別 | 平均分 | 中位數(shù) | 方差 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲組 | 6.7 | 3.41 | 90% | 20% | |
乙組 | 7.5 | 1.69 | 80% | 10% |
(2)小明同學(xué)說(shuō):“這次競(jìng)賽我得了7分,在我們小組中排名屬中游略偏上!”觀察上表可知,小明是 組的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)
(3)甲組同學(xué)說(shuō)他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們組的成績(jī)好于乙組.但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的說(shuō)法,認(rèn)為他們組的成績(jī)要好于甲組.請(qǐng)你給出兩條支持乙組同學(xué)觀點(diǎn)的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個(gè)以O(shè)為直角頂點(diǎn)的三角板,移動(dòng)三角板,使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC,CD交于點(diǎn)M,N.
(1)如圖1,若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合,則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是__________________;
(2)如圖2,若點(diǎn)O在正方形的中心(即兩對(duì)角線的交點(diǎn)),則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,若點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部(含邊界),當(dāng)OM=ON時(shí),請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)O在移動(dòng)過(guò)程中可形成什么圖形?
(4)如圖4是點(diǎn)O在正方形外部的一種情況.當(dāng)OM=ON時(shí),請(qǐng)你就“點(diǎn)O的位置在各種情況下(含外部)移動(dòng)所形成的圖形”提出一個(gè)正確的結(jié)論.(不必說(shuō)理)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是楊輝三角系數(shù)表,它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫(xiě)出行如(a+b)展開(kāi)式的系數(shù),請(qǐng)你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律,填出展開(kāi)式中所缺的系數(shù)。
(1)、(a+b)=a+b
(2)、(a+b)=a+2ab+b
(3)、(a+b) =a+3ab+3ab+b
(4)、(a+b)=a+ ab+6ab+4ab+b
(5)(a+b)=a+ ab+ ab+ ab+ ab+b
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“馬航事件”的發(fā)生引起了我國(guó)政府的高度重視,我國(guó)政府迅速派出了艦船和飛機(jī)到相關(guān)海域進(jìn)行搜尋.如圖,在一次空中搜尋中,水平飛行的飛機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得前方海面的點(diǎn)F處有疑似飛機(jī)殘骸的物體(該物體視為靜止),此時(shí)的俯角為30°.為了便于觀察,飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800m到達(dá)B點(diǎn),此時(shí)測(cè)得點(diǎn)F的俯角為45°.請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛臨F點(diǎn)的正上方點(diǎn)C時(shí)(點(diǎn)A,B,C在同一直線上),豎直高度CF約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):≈1.7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知將一副三角板(直角三角板和直角三角板)的兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn).
(1)如圖1,將直角三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)恰好平分時(shí),的度數(shù)是 _.
(2)如圖2,當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí),作射線平分,射線平分,如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng),的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果不變,求其值;如果變化,說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)三角板繞點(diǎn)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí),作射線平分,射線平分,請(qǐng)你求出此時(shí)鈍角的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,適與岸齊.問(wèn)霞長(zhǎng)幾何.
注釋:今有正方形水池邊長(zhǎng)1丈,蘆葦生長(zhǎng)在中央,長(zhǎng)出水面1尺.將蘆葦向池岸牽引,恰好與水岸齊,問(wèn)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度(一丈等于10尺).解決下列問(wèn)題:
(1)示意圖中,線段的長(zhǎng)為______尺,線段的長(zhǎng)為______尺;
(2)求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,曲線AB是頂點(diǎn)為B,與y軸交于點(diǎn)A的拋物線y=﹣x2+4x+2的一部分,曲線BC是雙曲線y=的一部分,由點(diǎn)C開(kāi)始不斷重復(fù)“A﹣B﹣C”的過(guò)程,形成一組波浪線,點(diǎn)P(2018,m)與Q(2025,n)均在該波浪線上,則=___________.
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