Question

【題目】（閱讀資料）

同學(xué)們，我們學(xué)過用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代數(shù)式的最值．

（1）求4x2+16x+19的最小值．

解：4x2+16x+19＝4x2+16x+16+3＝4（x+2）2+3

因（x+2）2大于等于0，所以4x2+16x+19大于等于3，即4x2+16x+19的最小值是3．此時(shí)，x＝﹣2

（2）求﹣m2﹣m+2的最大值

解：﹣m2﹣m+2＝﹣（m2+m）+2＝﹣

因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣

小于等于，即﹣m2﹣m+2的最大值是，此時(shí)，m＝﹣．

（探索發(fā)現(xiàn)）

如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想從中剪出一個(gè)以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大．下面給出了未寫完的證明，請(qǐng)你閱讀下面的證明并寫出余下的證明部分，并求出矩形的最大面積與原三角形面積的比值．

解：在AC上任取點(diǎn)E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．設(shè)EF＝x

易證△AEF∽△ACB，則，，，…

請(qǐng)你寫出剩余部分

（拓展應(yīng)用）

如圖②，在△ABC中，BC＝a，BC邊上的高AD＝h，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為　 　．（用含a，h的代數(shù)式表示）

（靈活應(yīng)用）

如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內(nèi)角），該矩形的面積為　 　．（直接寫出答案）

（實(shí)際應(yīng)用）

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測(cè)量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，該矩形的面積為　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】(探索發(fā)現(xiàn))詳見解析;( 拓展應(yīng)用) ;(靈活應(yīng)用) 720;( 實(shí)際應(yīng)用) 1458cm2．

【解析】

探索發(fā)現(xiàn)：利用配方法解決問題即可；

拓展應(yīng)用：利用相似三角形構(gòu)建關(guān)于面積的二次函數(shù)，再利用配方法解決問題即可；

靈活應(yīng)用：如圖③，延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE、CD交于點(diǎn)H，取BF中點(diǎn)I，FG的中點(diǎn)K，轉(zhuǎn)化為圖②中模型解決問題即可．

實(shí)際應(yīng)用：如圖④，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，轉(zhuǎn)化為圖②中模型解決問題即可．

解：探索發(fā)現(xiàn)：，

∵，

∴矩形BDEF的面積的最大值為12；

拓展應(yīng)用：設(shè)PN＝b，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴＝，

∵BC＝a，BC邊上的高AD＝h，

∴＝，即PQ＝，

∴S＝bPQ＝＝﹣b2+bh＝﹣（x﹣）2+≥，

∴S的最大值為：，即矩形PQMN面積的最大值為，

故答案為：；

靈活應(yīng)用：如圖③，延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE、CD交于點(diǎn)H，取BF中點(diǎn)I，FG的中點(diǎn)K，

由題意知四邊形ABCH是矩形，

∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，

∴EH＝20、DH＝16，

∴AE＝EH、CD＝DH，

在△AEF和△HED中，

∵，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF＝DH＝16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG＝HE＝20，

∴BI＝＝24，

∵BI＝24＜32，

∴中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，

過點(diǎn)K作KL⊥BC于點(diǎn)L，

由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BG×BF＝×（40+20）×（32+16）＝720，

故答案為720；

實(shí)際應(yīng)用：如圖④，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，

∵∠B＝∠C＝60°，

∴EB＝EC，∵EH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵＝tan60°＝，

設(shè)CH＝BH＝x，則EH＝x，

∵BC＝BH+CH＝108＝2x，

解得：x＝54，

∴BH＝CH＝54，EH＝54，

∴EB＝EC＝2BH＝108，

∵AB＝70，

∴AE＝38，

∴BE的中點(diǎn)Q在線段AB上，

∵CD＝76，

∴CE的中點(diǎn)P在線段CD上，

∴中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD上，

由【探索發(fā)現(xiàn)】知，矩形PQMN的最大面積為BCEH＝×108×54＝1458cm2，

故答案為1458cm2．