Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx²+2mx+n的圖象經(jīng)過A（-3，0），C（0，-6）．
（1）求拋物線的對稱軸及解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)與x軸的另一個交點(diǎn)為B，過點(diǎn)O作CB的垂線與拋物線交于點(diǎn)M，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分不變，得到一個新的圖象，請結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線y=x+b與這個新圖象有兩個公共點(diǎn)時，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（-3，0），C（0，-6）代入二次函數(shù)y=mx²+2mx+n求解即可；
（2）作MD⊥OB于點(diǎn)D，利用正余弦的值求解即可；
（3）分兩種情況：①當(dāng)直線y=x+b與x軸交點(diǎn)在A，B之間時，與這個新圖象有兩個公共點(diǎn)時；②二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折的解析式為y=-2x²-4x+6，由直線y=x+b與y=-2x²-4x+6，只有一個交點(diǎn)可求x+b=-2x²-4x+6，利用△=0，求解即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=mx²+2mx+n的圖象經(jīng)過A（-3，0），C（0，-6）．
∴

0=9m-6m+n -6=n

，解得

m=2 n=-6

，
∴拋物線的解析式為y=2x²+4x-6，
∴拋物線的對稱軸x=-1．
（2）如圖1，作MD⊥OB于點(diǎn)D，

∵OC=6，OB=1，
∴BC=

OC2+OB2

=

37

，
∴sin∠BCO=

1

37

，cos∠BCO=

6

37

∴OM=OC•sin∠BCO=

6

37

，
∴DM=OM•sin∠BCO=

6

37

×

1

37

=

6

37

，
OD=OM•cos∠BCO=

6

37

×

6

37

=

36

37

，
∴M（

6

37

，

36

37

）．
（3）如圖2，

①當(dāng)直線y=x+b與x軸交點(diǎn)在A，B之間時，與這個新圖象有兩個公共點(diǎn)時，即-1＜b＜3，
②二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折的解析式為y=-2x²-4x+6，
由直線y=x+b與y=-2x²-4x+6，只有一個交點(diǎn)可求x+b=-2x²-4x+6中△=0，即25-4×2（b-6）=0，解得b=

73

8

，
所以當(dāng)b＞

73

8

時，直線y=x+b與這個新圖象有兩個公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解．