Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c 與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C（0，-3），其頂點(diǎn)為D，對稱軸為直線x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)△ACM是以AC為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）將△OBC沿x軸向右平移m個(gè)單位長度（0＜m＜3）得到另一個(gè)三角形△EFG，將△EFG與△BCD重疊部分的面積為S，用含m的代數(shù)式表示S．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線 的對稱軸為直線x=1．與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A的坐標(biāo)，可得與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B的坐標(biāo)，再把三點(diǎn)代入y=ax²+bx+c 求解即可，
（2）分兩種情況當(dāng)AC=CM時(shí)，②當(dāng)AC=CM時(shí)，分別求解即可，
（3）先求出直線BC與BD的解析式，再分兩種情況①當(dāng)0＜m≤

3

2

時(shí)，②當(dāng)

3

2

＜m＜3時(shí)求解即可．

解答：解：∵拋物線y=ax²+bx+c 的對稱軸為直線x=1．與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（3，0），
∵與y軸的交點(diǎn)為C（0，-3），
∴

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）①當(dāng)AC=AM時(shí)，M（0，3），
②當(dāng)AC=CM時(shí)，M（0，-

10

-3）或M（0，

10

-3），
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3），（0，-

10

-3）或M（0，

10

-3），
（3）記平移后的三角形為△EFG，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 b=-3

，解得

k=1 b=-3

，
則直線BC的解析式為y=x-3，
∵△OBC沿x軸向右平移m個(gè)單位長度（0＜m＜3）得到另一個(gè)三角形△EFG，
∴易得y=x-3-m，
設(shè)直線BD的解析式為y=k′x+b′，則

3k′+b′=0 k′+b′=-4

，解得

k′=2 b′=-6

，
直線BD的解析式為y=2x-6，
連接CG，直線CG交BD于H，則H（

3

2

，-3），在△OBC沿x軸向右平移的過程中，
①當(dāng)0＜m≤

3

2

時(shí)，如圖1所示，

設(shè)EG交BC于點(diǎn)P，GF交BD于點(diǎn)Q，
則CG=BF=m，BE=PE=3-m，聯(lián)立

y=2x-6 y=x-3-m

，解得

x=3-m y=-2m

，
即點(diǎn)Q（3-m，-2m），
S=S_△EFG-S_△EPB-S_△BFQ
=

9

2

-

1

2

（3-m）²-

1

2

m•2m，
=-

3

2

m²+3m，
②當(dāng)

3

2

＜m＜3時(shí)，如圖2所示，

設(shè)EG交BC于點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)N，
則OE=m，BE=PE=3-m，
∵直線BD的解析式為y=2x-6，
∴當(dāng)x=m時(shí)，y=2m-6，
∴點(diǎn)N（m，2m-6），
∴S=S_△EBN-S_△EPB
=

1

2

（3-m）（6-2m）-

1

2

（3-m）²，
=

1

2

（3-m）²，
=-

1

2

m²-3m+

9

2

，
綜上所述：當(dāng)

3

2

＜m≤3時(shí)，S=-

3

2

m²+3m，當(dāng)

3

2

＜m＜3時(shí)，S=-

1

2

m²-3m+

9

2

，

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解．