Question

自主觀察：觀察下列等式：
第1個等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

（1-

1

3

）；第2個等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

）；
第3個等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

（

1

5

-

1

7

）；第 4個等式：a₄=

1

7×9

=

1

2

（

1

7

-

1

9

）；…
探究發(fā)現(xiàn)：請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：a₅=

 

=

 

；
（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個等式：a_n=

 

=

 

（n為正整數(shù)）；
解決問題：
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄…+a₂₀的值．

Answer 1

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）（2）觀察知，找第一個等號后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關(guān)系為序號的2倍減1和序號的2倍加1；
（3）運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律拆分計算．

解答：解：（1）a₅=

1

9×11

=

1

2

×（

1

9

-

1

11

）；
（2）a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）（n為正整數(shù)）；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄…+a₂₀
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

×（

1

39

-

1

41

）
=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

39

-

1

41

）
=

1

2

×（1-

1

41

）
=

1

2

×

40

41

=

20

41

．

點評：此題考查尋找數(shù)字的規(guī)律及運用規(guī)律計算．尋找規(guī)律大致可分為2個步驟：不變的和變化的；變化的部分與序號的關(guān)系．