Question

4．如圖，Rt△ABC和Rt△CDE中，∠A=30°，∠E=45°，AB=CE，∠BCD=30°，F(xiàn)G⊥AB，下列結(jié)論：①CH=FH；②BC=GC；③四邊形BDEF為平行四邊形；④FH=GF+BH．其中正確的結(jié)論是①②④（填序號(hào)）．

Answer 1

分析 求出∠ABC=60°，又∠BCD=30°，得到∠AHC為直角，由Rt△CDE中，∠E=45°，得到∠ECD=45°，△FCH為等腰直角三角形，得到FH=CH，選項(xiàng)①正確；
過G作GM于CD垂直，交CD于M，證出四邊形GMHF為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，得到GF=MH，GM=FH，得到GM=CH，由一對(duì)直角相等，再根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到△CGM與△CBH全等，得到CG=CB，選項(xiàng)②正確；
根據(jù)全等得到GM=CH，由FH=CH=CM+MH，得到選項(xiàng)④正確；
要使四邊形FBDE為平行四邊形，由一對(duì)直角即同位角相等，得到BF與DE平行，還要使EC與DB平行，故要使同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即要∠HBD為45°，而∠HBD不一定為45°，故選項(xiàng)③不一定成立；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，又∠BCD=30°，
∴∠FHC=90°，
又Rt△CDE中，∠E=45°，
∴∠ECD=45°，
∴△FCH為等腰直角三角形，
∴FH=HC，故選項(xiàng)①正確；
過G作GM⊥CD，交CD于M，如圖所示：
∴∠GMD=90°，
∴∠GCM+∠CGM=90°，又∠ACB=90°
∴∠GCM+∠BCH=90°，
∴∠CGM=∠BCH，
∵∠FHM=90°（已證），又GF⊥AB，
∴∠GFH=90°，
∴四邊形GMHF為矩形，
∴GM=FH，GF=MH，
又FH=CH，
∴GM=CH，
在△GCM和△CBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GMC=∠CHB}&{\;}\\{GM=CH}&{\;}\\{∠CGM=∠BCH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GCM≌△CBH（AAS），
∴CM=BH，BC=CG，故選項(xiàng)②正確；
∴FH=CH=CM+MH=BH+GF，故選項(xiàng)④正確；
∵∠AHC=∠EDC=90°，
∴FB∥ED，
要使四邊形BDEF為平行四邊形，還需BD∥EC，
即要∠FCB+∠CBD=180°，
而∠FCB=∠ECD+∠DCB=45°+30°=75°，
故要∠CBD=∠CBA+∠ABD=105°，又∠CBA=60°，
即要∠ABD=45°，而∠ABD不一定等于45°，
故選項(xiàng)③不一定成立，
則其中正確的結(jié)論有①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定等知識(shí)．本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，屬于結(jié)論型開放題，作出輔助線GM構(gòu)造全等三角形是本題的突破點(diǎn)．