【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(﹣2,0),B(1,0),交y軸于C(0,2).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)連接AC,在直線AC上方的拋物線上是否存在點N,使△NAC的面積最大,若存在,求出這個最大值及此時點N的坐標(biāo),若不存在,說明理由;
(3)若點M在x軸上,是否存在點M,使以B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形,若存在,直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(4)若P為拋物線上一點,過P作PQ⊥BC于Q,在y軸左側(cè)的拋物線是否存在點P使△CPQ∽△BCO(點C與點B對應(yīng)),若存在,求出點P的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2;(2)N(﹣1,2),△ANC的面積有最大值為1;(3)M的坐標(biāo)為(﹣1,0)或(,0)或(,0);(4)點P的坐標(biāo)為:(﹣1,2)或(, ).
【解析】試題分析:(1)利用交點式求二次函數(shù)的解析式;
(2)求直線AC的解析式,作輔助線ND,根據(jù)拋物線的解析式表示N的坐標(biāo),根據(jù)直線AC的解析式表示D的坐標(biāo),表示ND的長,利用鉛直高度與水平寬度的積求三角形ANC的面積,根據(jù)二次函數(shù)的最值可得面積的最大值,并計算此時N的坐標(biāo);
(3)分三種情況:當(dāng)B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形時,分別以三邊為腰,畫圖形,求M的坐標(biāo)即可;
(4)存在兩種情況:①如圖4,點P1與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時符合條件;
②如圖5,圖3中的M(﹣,0)時,MB=MC,設(shè)CM與拋物線交于點P2,則△CP2Q∽△BCO,P2為直線CM的拋物線的交點.
試題解析:
解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(﹣2,0),B(1,0),
設(shè)二次函數(shù)的解析式為:y=a(x+2)(x﹣1),
把C(0,2)代入得:2=a(0+2)(0﹣1),
a=﹣1,
∴y=﹣(x+2)(x﹣1)=﹣x2﹣x+2,
∴二次函數(shù)的解析式為:y=﹣x2﹣x+2.
(2)如圖1,過N作ND∥y軸,交AC于D,設(shè)N(n,﹣n2﹣n+2),
設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,
把A(﹣2,0)、C(0,2)代入得: ,
解得: ,
∴直線AC的解析式為:y=x+2,
∴D(n,n+2),
∴ND=(﹣n2﹣n+2)﹣(n+2)=﹣n2﹣2n,
∴S△ANC=×2×[﹣n2﹣2n]=﹣n2﹣2n=﹣(n+1)2+1,
∴當(dāng)n=﹣1時,△ANC的面積有最大值為1,此時N(﹣1,2),
(3)存在,分三種情況:
①如圖2,當(dāng)BC=CM1時,M1(﹣1,0).
②如圖2,由勾股定理得:BC==,
以B為圓心,以BC為半徑畫圓,交x軸于M2、M3,則BC=BM2=BM3=,
此時,M2(1﹣,0),M3(1+,0).
③如圖3,作BC的中垂線,交x軸于M4,連接CM4,則CM4=BM4,
設(shè)OM4=x,則CM4=BM4=x+1,
由勾股定理得:22+x2=(1+x)2,
解得:x=,
∵M4在x軸的負半軸上,
∴M4(﹣,0),
綜上所述,當(dāng)B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形時,M的坐標(biāo)為(﹣1,0)或(1±,0)或(﹣,0).
(4)存在兩種情況:
①如圖4,過C作x軸的平行線交拋物線于P1,過P1作P1Q⊥BC,
此時,△CP1Q∽△BCO,
∴點P1與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,
∴P1(﹣1,2),
②如圖5,由(3)知:當(dāng)M(﹣,0)時,MB=MC,設(shè)CM與拋物線交于點P2,
過P2作P2Q⊥BC,此時,△CP2Q∽△BCO,
易得直線CM的解析式為:y=x+2,
則,
解得:P2(﹣,﹣),
綜上所述,點P的坐標(biāo)為:(﹣1,2)或(﹣,﹣).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.下列說法不正確的是( 。
A.與∠1互余的角只有∠2B.∠A與∠B互余
C.∠1=∠BD.若∠A=2∠1,則∠B=30°
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【題目】如圖,在四邊形中,,.
(1)若于,于,判斷與數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)如果,,求的度數(shù)。
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【題目】某校開展“我最喜愛的一項體育活動”調(diào)查,要求每名學(xué)生必選且只能選一項,現(xiàn)隨機抽查了m名學(xué)生,并將其結(jié)果繪制成如下不完整的條形圖和扇形圖.
請結(jié)合以上信息解答下列問題:
(1)m= ;
(2)請補全上面的條形統(tǒng)計圖;
(3)在圖2中,“乒乓球”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
(4)已知該校共有1200名學(xué)生,請你估計該校約有 名學(xué)生最喜愛足球活動.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一個智能機器人接到如下指令:從原點O出發(fā),按向右,向上,向右,向下的方向依次不斷移動,每次移動1m.其行走路線如圖所示,第1次移動到A1,第2次移動到A2,…,第n次移動到An.則△OA2A2018的面積是( 。
A. 504m2 B. m2 C. m2 D. 1009m2
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【題目】如圖,圓心都在x軸正半軸上的半圓O1,半圓O2,…,半圓On與直線l相切.設(shè)半圓O1,半圓O2,…,半圓On的半徑分別是r1,r2,…,rn,則當(dāng)直線l與x軸所成銳角為30°,且r1=1時,r2018=_________.
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【題目】如圖,邊長為a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是異于A、D兩點的動點,F是CD上的動點,滿足AE+CF=a,△BEF的周長最小值是( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,拋物線 (a≠0)的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點坐標(biāo)為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①4ac<b2;
②方程 的兩個根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④當(dāng)y>0時,x的取值范圍是﹣1≤x<3
⑤當(dāng)x<0時,y隨x增大而增大
其中結(jié)論正確的個數(shù)是( 。
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】某商場為了吸引顧客,設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,如圖所示,并規(guī)定:顧客消費200元(含200元)以上,就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會,如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對準(zhǔn)九折、八折、七折區(qū)域,顧客就可以獲得此項優(yōu)惠,如果指針恰好在分割線上時,則需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.
(1)某顧客正好消費220元,他轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤,他獲得九折、八折、七折優(yōu)惠的概率分別是多少?
(2)某顧客消費中獲得了轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤的機會,實際付費168元,請問他消費所購物品的原價應(yīng)為多少元.
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