【題目】已知拋物線y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在(1)的條件下,設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接BE.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少?

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3;(2) P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);(3) (1,﹣4).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo),求出直線的解析式,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),求出拋物線的解析式;(2)作PH⊥x軸于H,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可;(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=BE+EF時(shí),t最小即可.

試題解析:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1,0),

∵直線y=﹣x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

∴b=﹣3,

∴y=﹣x﹣3

當(dāng)x=2時(shí),y=﹣5,

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,﹣5),

∵點(diǎn)D在拋物線上,

∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5

解得,a=﹣,

則拋物線的解析式為y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;

(2)作PH⊥x軸于H,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),

當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí),∠BAC=∠PBA,

∴tan∠BAC=tan∠PBA,即=,

=,即n=﹣a(m﹣1),

解得,m1=﹣4,m2=1(不合題意,舍去),

當(dāng)m=﹣4時(shí),n=5a,

∵△BPA∽△ABC,

=,即AB2=ACPB,

∴42=,

解得,a1=(不合題意,舍去),a2=﹣,

則n=5a=﹣,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣);

當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí),∠CBA=∠PBA,

∴tan∠CBA=tan∠PBA,即=,

=,即n=﹣3a(m﹣1),

,

解得,m1=﹣6,m2=1(不合題意,舍去),

當(dāng)m=﹣6時(shí),n=21a,

∵△PBA∽△ABC,

=,即AB2=BCPB,

∴42=,

解得,a1=(不合題意,舍去),a2=﹣

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣6,﹣),

綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);

(3)作DM∥x軸交拋物線于M,作DN⊥x軸于N,作EF⊥DM于F,

則tan∠DAN===,

∴∠DAN=60°,

∴∠EDF=60°,

∴DE==EF,

∴Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=+=BE+EF,

∴當(dāng)BE和EF共線時(shí),t最小,

則BE⊥DM,E(1,﹣4)

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