Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于A（1,1），B兩點，與軸交于點C，直線與軸交于點D．

（1）求拋物線的對稱軸和點C的坐標；

（2）若在軸上有且只有一點P，使∠APB=90°，求的值；

（3）設(shè)直線與拋物線的對稱軸的交點為F，G是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，若，且△BCG與△BCD的面積相等，求點G的坐標.

Answer 1

【答案】（1）對稱軸是x=2.5 ， C的坐標為（0,5）；（2）k=；（3）點G的坐標為（3，-1）或（）

【解析】

（1）根據(jù)對稱軸公式即可求出對稱軸，根據(jù)常數(shù)項可得C點坐標；

（2）過點A作AK⊥x軸于點K，過B作BR⊥x軸于點R，設(shè)B（p，q），通過△AKP∽△PRB得到q=，然后根據(jù)q=p-5p+5可解得p1=2（舍去），p2=4，然后用待定系數(shù)法可求出k的值；

（3）過點A作AM⊥對稱軸于點M，過點B作BN⊥對稱軸于點N，構(gòu)造相似三角形求出B的坐標，從而得到直線AB與直線BD的解析式，求出點D坐標，設(shè)點D關(guān)于點C的對稱點為D′，則 D′（0，），所以點G在過點D或D′，平行線于BC的直線上，然后聯(lián)立一次函數(shù)與拋物線的解析式即可求出符合題意的點G坐標

解：（1）對稱軸是x=2.5

C的坐標為（0,5）

（2）∵在x軸上有且僅有一點P，使∠APB=90，

∴以AB為直徑的圓與x軸相切，取AB中點Q，作QP⊥x軸，垂足為P，

過點A作AK⊥x軸于點K，過B作BR⊥x軸于點R，構(gòu)造“三垂直模型”

設(shè)B（p，q），則Q（，），

P（，0），K（1，0），R（p，0），

△AKP∽△PRB，AK∶RP=KP∶BR，

∴ 1∶（p-）=(-1)∶q，

化簡，得：q=，

∴2= p-5p+5，

解得：p1=2，p2=4；

當p=2時，q=＜1，k＜0，與題中條件k＞0矛盾，

∴B（4，），代入直線l解析式：/p>

4k+m=；

又直線l過A（1，1），

∴k+m=1，

聯(lián)立方程組，解得：k=;

（3）過點A作AM⊥對稱軸于點M，過點B作BN⊥對稱軸于點N，

∵AF：FB=3:4，∴AM∶BN=3∶4，

∵AM=-1=，

∴BN=2，即點B的橫坐標為2+=；

B的縱坐標為：（）-5×+5=，

∴B（，）；

將A、B坐標代入l解析式：

k+m=1；

+m=，

解得：k=，m=，

∴D（0，）；

∴直線BC解析式為：+5；

設(shè)點D關(guān)于點C的對稱點為D′，則 D′（0，）,

∵△BCD和△BCG有公共邊BC，

∴點G在過點D或D′，平行線于BC的直線上,

分別作DG1∥BC，D′G2∥BC，G1、G2在拋物線上

DG 1解析式：y=+，與y= x-5x+5聯(lián)立，

解得：x1=，x2=3，

∵G在對稱軸右側(cè)，

∴x=3，y=-1，

∴G1（3，-1）；

D′G2解析式：y=+，與y= x-5x+5聯(lián)立，

解得：x1=，x2=（舍去），

∴x=，y=，

∴G2（，）,

綜上所述，點G的坐標為：（3，-1）；或（，）,