【題目】在籃球比賽中,東東投出的球在點(diǎn)A處反彈,反彈后球運(yùn)動(dòng)的路線為拋物線的一部分(如圖1所示建立直角坐標(biāo)系),拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)被東東搶到,CD⊥x軸于點(diǎn)D,CD=2.6m.
①求OD的長.
②東東搶到球后,因遭對(duì)方防守?zé)o法投籃,他在點(diǎn)D處垂直起跳傳球,想將球沿直線快速傳給隊(duì)友華華,目標(biāo)為華華的接球點(diǎn)E(4,1.3).東東起跳后所持球離地面高度h1(m)(傳球前)與東東起跳后時(shí)間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式h1=﹣2(t﹣0.5)2+2.7(0≤t≤1);小戴在點(diǎn)F(1.5,0)處攔截,他比東東晚0.3s垂直起跳,其攔截高度h2(m)與東東起跳后時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示(其中兩條拋物線的形狀相同).東東的直線傳球能否越過小戴的攔截傳到點(diǎn)E?若能,東東應(yīng)在起跳后什么時(shí)間范圍內(nèi)傳球?若不能,請(qǐng)說明理由(直線傳球過程中球運(yùn)動(dòng)時(shí)間忽略不計(jì)).
【答案】(1)y=﹣2(x﹣0.4)2+3.32;(2)①1m;②能,
【解析】
(1)設(shè)y=a(x﹣0.4)2+3.32(a≠0),將A(0,3)代入求解即可得出答案;
(2)①把y=2.6代入y=﹣2(x﹣0.4)2+3.32,解方程求出x,即可得出OD=1m;
②東東在點(diǎn)D跳起傳球與小戴在點(diǎn)F處攔截的示意圖如圖2,設(shè)MD=h1,NF=h2,當(dāng)點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線時(shí),過點(diǎn)E作EG⊥MD于點(diǎn)G,交NF于點(diǎn)H,過點(diǎn)N作NP⊥MD于點(diǎn)P,證明△MPN∽△NEH,得出,則NH=5MP.分不同情況:(Ⅰ)當(dāng)0≤t≤0.3時(shí),(Ⅱ)當(dāng)0.3<t≤0.65時(shí),(Ⅲ)當(dāng)0.65<t≤1時(shí),分別求出t的范圍可得出答案.
解:(1)設(shè)y=a(x﹣0.4)2+3.32(a≠0),
把x=0,y=3代入,解得a=﹣2,
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣2(x﹣0.4)2+3.32.
(2)①把y=2.6代入y=﹣2(x﹣0.4)2+3.32,
化簡得(x﹣0.4)2=0.36,
解得x1=﹣0.2(舍去),x2=1,
∴OD=1m.
②東東的直線傳球能越過小戴的攔截傳到點(diǎn)E.
由圖1可得,當(dāng)0≤t≤0.3時(shí),h2=2.2.
當(dāng)0.3<t≤1.3時(shí),h2=﹣2(t﹣0.8)2+2.7.
當(dāng)h1﹣h2=0時(shí),t=0.65,
東東在點(diǎn)D跳起傳球與小戴在點(diǎn)F處攔截的示意圖如圖2,
設(shè)MD=h1,NF=h2,
當(dāng)點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線時(shí),過點(diǎn)E作EG⊥MD于點(diǎn)G,交NF于點(diǎn)H,過點(diǎn)N作NP⊥MD于點(diǎn)P,
∴MD∥NF,PN∥EG,
∴∠M=∠HEN,∠MNP=∠NEH,
∴△MPN∽△NEH,
∴,
∵PN=0.5,HE=2.5,
∴NH=5MP.
(Ⅰ)當(dāng)0≤t≤0.3時(shí),
MP=﹣2(t﹣0.5)2+2.7﹣2.2=﹣2(t﹣0.5)2+0.5,
NH=2.2﹣1.3=0.9.
∴5[﹣2(t﹣0.5)2+0.5]=0.9,
整理得(t﹣0.5)2=0.16,
解得(舍去),,
當(dāng)0≤t≤0.3時(shí),MP隨t的增大而增大,
∴.
(Ⅱ)當(dāng)0.3<t≤0.65時(shí),MP=MD﹣NF=﹣2(t﹣0.5)2+2.7﹣[﹣2(t﹣0.8)2+2.7]=﹣1.2t+0.78,
NH=NF﹣HF=﹣2(t﹣0.8)2+2.7﹣1.3=﹣2(t﹣0.8)2+1.4,
∴﹣2(t﹣0.8)2+1.4=5×(﹣1.2t+0.78),
整理得t2﹣4.6t+1.89=0,
解得,(舍去),,
當(dāng)0.3<t≤0.65時(shí),MP隨t的增大而減小,
∴.
(Ⅲ)當(dāng)0.65<t≤1時(shí),h1<h2,不可能.
給上所述,東東在起跳后傳球的時(shí)間范圍為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合),點(diǎn)B、C(E)、F在同一條直線上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如圖(2),△DEF從圖(1)的位置出發(fā),以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng),在△DEF移動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2 cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí),△DEF停止移動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng).DE與AC相交于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4.5).
解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上?
(2)連接PE,設(shè)四邊形APEC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;是否存在某一時(shí)刻t,使面積y最?若存在,求出y的最小值;若不存在,說明理由.
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把一塊長為40cm,寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同小正方形,然后把紙板的四邊沿虛線折起,并用膠帶粘好,即可做成一個(gè)無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為600cm2,設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm,則可列方程為( 。
A.(30﹣2x)(40﹣x)=600B.(30﹣x)(40﹣x)=600
C.(30﹣x)(40﹣2x)=600D.(30﹣2x)(40﹣2x)=600
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一種升降熨燙臺(tái)如圖1所示,其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來調(diào)整熨燙臺(tái)的高度.圖2是這種升降熨燙臺(tái)的平面示意圖.AB和CD是兩根相同長度的活動(dòng)支撐桿,點(diǎn)O是它們的連接點(diǎn),OA=OC,h(cm)表示熨燙臺(tái)的高度.
(1)如圖2﹣1.若AB=CD=110cm,∠AOC=120°,求h的值;
(2)愛動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn),當(dāng)家里這種升降熨燙臺(tái)的高度為120cm時(shí),兩根支撐桿的夾角∠AOC是74°(如圖2﹣2).求該熨燙臺(tái)支撐桿AB的長度(結(jié)果精確到lcm).
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一張矩形紙條ABCD,AB=5cm,BC=2cm,點(diǎn)M,N分別在邊AB,CD上,CN=1cm.現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊,使點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)B',C'上.當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在邊CD上時(shí),線段BM的長為_____cm;在點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中,若邊MB'與邊CD交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長為_____cm.
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【題目】2020年5月16日,“錢塘江詩路”航道全線開通,一艘游輪從杭州出發(fā)前往衢州,線路如圖1所示.當(dāng)游輪到達(dá)建德境內(nèi)的“七里揚(yáng)帆”景點(diǎn)時(shí),一艘貨輪沿著同樣的線路從杭州出發(fā)前往衢州.已知游輪的速度為20km/h,游輪行駛的時(shí)間記為t(h),兩艘輪船距離杭州的路程s(km)關(guān)于t(h)的圖象如圖2所示(游輪在停靠前后的行駛速度不變).
(1)寫出圖2中C點(diǎn)橫坐標(biāo)的實(shí)際意義,并求出游輪在“七里揚(yáng)帆”?康臅r(shí)長.
(2)若貨輪比游輪早36分鐘到達(dá)衢州.問:
①貨輪出發(fā)后幾小時(shí)追上游輪?
②游輪與貨輪何時(shí)相距12km?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在函數(shù)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,AC⊥y軸于點(diǎn)C,延長CA交以A為圓心AB長為半徑的圓弧于點(diǎn)E,延長BA交以A為圓心AC長為半徑的圓弧于點(diǎn)F,直線EF分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、N,當(dāng)NF=4EM時(shí),圖中陰影部分的面積等于_____.
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【題目】如圖,圓桌正上方的燈泡O發(fā)出的光線照射桌面后,在地面上形成圓形陰影.已知桌面的直徑為1.2m,桌面距離地面1m,若燈泡O距離地面3m,則地面上陰影部分的面積為( 。
A.0.36πm2B.0.81πm2C.1.44πm2D.3.24πm2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(方法回顧)
課本研究三角形中位線性質(zhì)的方法
已知:如圖①, 已知中,,分別是,兩邊中點(diǎn).
求證:,
證明:延長至點(diǎn),使, 連按.可證:( 。
由此得到四邊形為平行四邊形, 進(jìn)而得到求證結(jié)論
(1)請(qǐng)根據(jù)以上證明過程,解答下列兩個(gè)問題:
①在圖①中作出證明中所描述的輔助線(請(qǐng)用鉛筆作輔助線);
②在證明的括號(hào)中填寫理由(請(qǐng)?jiān)?/span>,,,中選擇) .
(問題拓展)
(2)如圖②,在等邊中, 點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),連接、.
①請(qǐng)你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系,并給出證明;
②若,求線段長度的最小值.
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