Question

10．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
（1）用尺規(guī)作出∠BAC的平分線AD，AD交BC于點D（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）所作的圖中，若DE⊥AB，垂足為E．
①BD=$\frac{8}{3}$；
②求BE的長．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作已知角的平分線）作AD平分∠BAC；
（2）如圖，設BD=x，則CD=6-x，先利用勾股定理計算出在AB=10，再根據角平分線性質得到CD=DE=6-x，接著證明Rt△ADC≌Rt△ADE得到AC=AE=8，則BE=AB-AE=2，然后證明Rt△BDE∽Rt△BAC，則利用相似比可計算出BD．

解答 解：（1）如圖，AD為所作；

（2）如圖，設BD=x，則CD=6-x，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6-x，
在Rt△ADC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AC=AE=8，
∴BE=AB-AE=10-8=2，
∵∠DBE=∠ABC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，即$\frac{2}{6}$=$\frac{6-x}{10}$，解得x=$\frac{8}{3}$，
所以BD的長為$\frac{8}{3}$，BE的長為2．
故答案為$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線．