【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為B(2,1),且過點(diǎn)A(0,2),直線y=x與拋物線交于點(diǎn)D,E(點(diǎn)E在對稱軸的右側(cè)),拋物線的對稱軸交直線y=x于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)G,EF⊥x軸,垂足為F,點(diǎn)P在拋物線上,且位于對稱軸的右側(cè),PQ⊥x軸,垂足為點(diǎn)Q,△PCQ為等邊三角形

(1)求該拋物線的解析式;
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)求證:CE=EF;
(4)連接PE,在x軸上點(diǎn)Q的右側(cè)是否存在一點(diǎn)M,使△CQM與△CPE全等?若存在,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.[注:3+2 =( +1)2].

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x﹣2)2+1,將點(diǎn)A(0,2)代入,得a(0﹣2)2+1=2,

解這個(gè)方程,得a=

∴拋物線的表達(dá)式為y= (x﹣2)2+1= x2﹣x+2;


(2)

解:將x=2代入y=x,得y=2

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)即CG=2,

∵△PCQ為等邊三角形

∴∠CQP=60°,CQ=PQ,

∵PQ⊥x軸,

∴∠CQG=30°,

∴CQ=4,GQ=2

∴OQ=2+2 ,PQ=4,

將y=4代入y= (x﹣2)2+1,得4= (x﹣2)2+1

解這個(gè)方程,得x1=2+2 =OQ,x2=2﹣2 <0(不合題意,舍去).

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+2 ,4);


(3)

證明:把y=x代入y= x2﹣x+2,得x= x2﹣x+2

解這個(gè)方程,得x1=4+2 ,x2=4﹣2 <2(不合題意,舍去)

∴y=4+2 =EF

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4+2 ,4+2

∴OE= =4+4 ,

又∵OC= =2 ,

∴CE=OE﹣OC=4+2 ,

∴CE=EF;


(4)

解:不存在.

如圖,假設(shè)x軸上存在一點(diǎn),使△CQM≌△CPE,則CM=CE,∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°,

∴∠MCE=60°

又∵CE=EF,

∴EM=EF,

又∵點(diǎn)E為直線y=x上的點(diǎn),

∴∠CEF=45°,

∴點(diǎn)M與點(diǎn)F不重合.

∵EF⊥x軸,這與“垂線段最短”矛盾,

∴原假設(shè)錯(cuò)誤,滿足條件的點(diǎn)M不存在.


【解析】(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)是(2,1),因而設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x﹣2)2+1,把A的坐標(biāo)代入即可求得函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)△PCQ為等邊三角形,則△CGQ中,∠CQD=30°,CG的長度可以求得,利用直角三角形的性質(zhì),即可求得CQ,即等邊△CQP的邊長,則P的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式,即可求得P的坐標(biāo);(3)解方程組即可求得E的坐標(biāo),則EF的長等于E的縱坐標(biāo),OE的長度,利用勾股定理可以求得,同理,OC的長度可以求得,則CE的長度即可求解;(4)可以利用反證法,假設(shè)x軸上存在一點(diǎn),使△CQM≌△CPE,可以證得EM=EF,即M與F重合,與點(diǎn)E為直線y=x上的點(diǎn),∠CEF=45°即點(diǎn)M與點(diǎn)F不重合相矛盾,故M不存在.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】(根據(jù)市教委提出的學(xué)生每天體育鍛煉不少于1小時(shí)的要求,為確保陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間得到落實(shí),某校對九年級(jí)學(xué)生每天參加體育鍛煉的時(shí)間作了一次抽樣調(diào)查,其中部分結(jié)果記錄如下:

時(shí)間分組(小時(shí))

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

0≤t0.5

10

0.2

0.5≤t1


0.4

1≤t1.5

10

0.2

1.5≤t2


0.1

2≤t2.5

5


合計(jì)


1

請你將頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整.

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求甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià);

若甲種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)2500元,乙種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)1800元,商場欲同時(shí)購進(jìn)兩種空調(diào)20臺(tái),且全部售出,請寫出所獲利潤與甲種空調(diào)臺(tái)之間的函數(shù)關(guān)系式;

的條件下,若商場計(jì)劃用不超過36000元購進(jìn)空調(diào),且甲種空調(diào)至少購進(jìn)10臺(tái),并將所獲得的最大利潤全部用于為某敬老院購買1100臺(tái)的A型按摩器和700臺(tái)的B型按摩器直接寫出購買按摩器的方案.

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(1)當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC;
(2)當(dāng)△APQ與△CQB相似時(shí),AP的長為 . ;
(3)當(dāng)SBCQ:SABC=1:3,求SAPQ:SABQ的值.

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(1)求今年6月份A型車每輛銷售價(jià)多少元(用列方程的方法解答);
(2)該車行計(jì)劃7月份新進(jìn)一批A型車和B型車共50輛,且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍,應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲利最多?
A、B兩種型號(hào)車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如表:

A型車

B型車

進(jìn)貨價(jià)格(元/輛)

1100

1400

銷售價(jià)格(元/輛)

今年的銷售價(jià)格

2400

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