Question

閱讀材料，在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）的距離記作AB=|x₁-x₂|是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求AB間的距離，如圖，過(guò)A，B分別向x軸、y軸作垂線AM₁、AN₁和
BM₂、BN₂，垂足分別是M₁、N₁、M₂、N₂，直線AN₁交BM₂于點(diǎn)Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x₁-x₂|，BQ=|y₁-y₂|，
∴AB²=AQ²+BQ²=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|²=（x₁-x₂|²+（y₁-y₂）²，
由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）間的距離公式為：AB=

 

．
（1）直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算點(diǎn)A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為

 

；
（2）利用上面公式，在平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A（0，3），B（4，1），P為x軸上任一點(diǎn)，則PA+PB的最小值和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,兩點(diǎn)間的距離

專題：

分析：（1）直接利用兩點(diǎn)之間距離公式直接求出即可；
（2）利用軸對(duì)稱求最短路線方法得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而求出PA+PB的最小值；
（3）根據(jù)原式表示的幾何意義是點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（-2，-4）和（3，1）的距離之和，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在以（-2，-4）和（3，1）為端點(diǎn)的線段上時(shí)其距離之和最小，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1））∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）間的距離公式為：
∴點(diǎn)A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為：AB=5；
故答案為：5；

（2）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B，連接AB，直線AB，于x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
∵B（4，1）∴B，（4，-1），
∵A（0，3）∴設(shè)直線AB，的一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+3，
把B，（4，-1）代入-1=4k+3　解得　k=-1，
當(dāng)y=0時(shí)，解得x=3，即P（3，0），
∴PA+PB=PA+PB，=AB，=

(0-4)2+(3+1)2

=4

2

，
即為PA+PB的最小值為4

2

．
故答案為：4

2

；

（3）原式=

(x-0)2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

，
故原式表示點(diǎn)（x，y）到（0，2）和（3，1）的距離之和．由兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)（x，y）在以（0，2）和（3，1）為端點(diǎn)的線段上時(shí)，原式值最�。�利用公式，原式=

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最值問(wèn)題以及兩點(diǎn)之間距離公式，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點(diǎn)之間距離問(wèn)題是解題關(guān)鍵．