2.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,D是△ABC外一點(diǎn),∠BDC=120°,BD=2$\sqrt{3}$,CD=2,求S△ABD

分析 如圖取AB中點(diǎn)M,連接CM、DM,在線段DM上截取DE=DB,作BF⊥DM于F,先證明DM=BD+DC,再求出DM、BF,求出△BDM的面積,根據(jù)S△ABD=2S△BDM即可解決問題.

解答 解:如圖取AB中點(diǎn)M,連接CM、DM,在線段DM上截取DE=DB,作BF⊥DM于F.
在RT△ABC中,∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,BM=AM,
∴∠ABC=60°,CM=BM=AM,
∴△BCM是等邊三角形,
∴∠BMC=∠BCM=60°,
∵∠BDC=120°,
∴∠BDC+∠BMC=180°,
∴B、D、C、M四點(diǎn)共圓,
∴∠BDM=∠BCM=60°,∵DB=DE,
∴△BDE是等邊三角形,
∴DB=DE,
∵∠DBE=∠CBM=60°,
∴∠DBC=∠EBM,
在△DBC和△EBM中,
$\left\{\begin{array}{l}{DB=BE}\\{∠DBC=∠EBM}\\{CB=BM}\end{array}\right.$,
∴△DBC≌△EBM,
∴CD=EM,
∴DM=DE+EM=DB+DC=2+2$\sqrt{3}$,
在RT△DBF中,∠BDF=60°,BD=2$\sqrt{3}$,
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$,BF=$\sqrt{3}$DF=3,
∴S△BDM=$\frac{1}{2}$•DM•BF=$\frac{1}{2}$×(2+2$\sqrt{3}$)×3,
∵BM=AM,
∴S△ABD=2S△BDM=6+6$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識,解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形,本題有一定難度,用到四點(diǎn)共圓,記住圖中DM=BD+DC這個基本結(jié)論,屬于中考?碱}型.

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(1)$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$-5$\sqrt{2}$ 
(2)$\root{3}{8}$+$\sqrt{(-2)^{2}}$-$\sqrt{\frac{1}{4}}$
(3)$\sqrt{81}$+$\root{3}{-27}$+$\sqrt{(-\frac{2}{3})^{2}}$       
(4)$\sqrt{2}$-1+|$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$|+|$\sqrt{3}$-2|
(5)π+$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$.(精確到0.01)

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