Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（-4，0），交y軸于點B（0，2），拋物線y=ax²+bx+c的圖象過點C（1，0），并與直線相交于A、B兩點．（1）求拋物線和直線AB的函數(shù)關系式；
（2）P為線段OA上一個動點，點M為直線AB上一動點，若PM+CM的值最小，求M點和P點的坐標；
（3）P為線段OA上一個動點，Q為第二象限的一個動點，且滿足PQ=PA，OQ=OB．若△OPQ為直角三角形，試求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線y=ax²+bx+c的圖象過點C（1，0），并與直線相交于A、B兩點，設直線AB的函數(shù)關系式為y=kx+b，由直線AB交x軸于點A（-4，0），交y軸于點B（0，2），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線和直線AB的函數(shù)關系式；
（2）連接CB并延長，使CB=BC′，過C′作CP⊥OA交AB于M，由$\frac{OA}{OB}=2，\frac{OB}{OC}=2$，得到△AOB∽△BOC，根據相似三角形的性質得到∠BAO=∠CBO，求得∠ABO+∠CBO=90°，于是得到AB⊥CC′，推出C與C′關于AB對稱，證得C′P=PM+CM的最小值，根據平行線等分線段定理得到OP=OC=1，把x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x+2得：y=$\frac{3}{2}$，即可得到結論；
（3）由△OPQ為直角三角形，則可判定∠PQO=90°，然后設AP=PQ=a，PO=4-a，由勾股定理可得方程：（4-a）²=a²+2²，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的圖象過點C（1，0），并與直線相交于A、B兩點，
∴設拋物線的解析式為：y=a（x+4）（x-1），
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{1}{5}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)關系式為y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
設直線AB的函數(shù)關系式為：y=kx+b，
∵點A（-4，0），點B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的函數(shù)關系式為：y=$\frac{1}{2}$x+2；

（2）連接CB并延長，使CB=BC′，過C′作CP⊥OA交AB于M，
∵A（-4，0），點B（0，2），C（1，0），
∴OA=4，OB=2，OC=1，
∵$\frac{OA}{OB}=2，\frac{OB}{OC}=2$，
∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠BAO=∠CBO，
∴∠ABO+∠CBO=90°，
∴AB⊥CC′，
∴C與C′關于AB對稱，
∴C′P=PM+CM的最小值，
∵C′P⊥x軸，BO⊥x軸，
∴C′P∥BO，
∵BC=BC′，
∴OP=OC=1，
把x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x+2得：y=$\frac{3}{2}$，
∴P（-1，0），M（-1，$\frac{3}{2}$）；

（3）∵△OPQ為直角三角形，
①若∠POQ=90°，則點Q在y軸上，
∵Q為第二象限的一個動點，
∴矛盾，
∴∠POQ≠90°；
②若∠QPO=90°，
則PA=PQ＜OQ，PO＜OQ，
∵OQ=OB=2，PO＜2，
∴OA=OP+PA＜4，
∵OA=4，
∴矛盾，
∴∠QPO≠90°；
③若∠PQO=90°，設AP=PQ=a，PO=4-a，
∴（4-a）²=a²+2²，
解得：a=$\frac{3}{2}$，
∴PO=4-a=$\frac{5}{2}$，
∴點P的坐標為：（-$\frac{5}{2}$，0）．

點評 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式，求點的坐標，相似三角形的判定和性質，軸對稱的性質，直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．