Question

2．用[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程x²-3[x]-5=0的所有根的乘積等于$\sqrt{238}$．

Answer 1

分析 根據(jù)[x]≤x，解x²-5≤3x得出x的大致范圍，由[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)將x取值區(qū)間劃分，分別代入原式求解．

解答 解：x²-3[x]-5=0，即x²-5=3[x]，
∵[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，
∴x²-5=3[x]≤3x，
解x²-5≤3x，得
$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$≤x≤$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，
①當(dāng)x∈[$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$，-1）時(shí)，[x]=-2，
解x²+6-5=0，無解；
②當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，[x]=-1，
解x²+3-5=0，得x=-$\sqrt{2}$＜-1（舍去），或x=$\sqrt{2}$＞0（舍去）；
③當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，
解x²-5=0，得x=-$\sqrt{5}$＜0（舍去），或x=$\sqrt{5}$＞1（舍去）；
④當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，
解x²-3-5=0，得x=-2$\sqrt{2}$＜1（舍去），或x=2$\sqrt{2}$＞2（舍去）；
⑤當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x]=2，
解x²-6-5=0，得x=-$\sqrt{11}$＜2（舍去），或x=$\sqrt{11}$＞3（舍去）；
⑥當(dāng)x∈[3，4）時(shí)，[x]=3，
解x²-9-5=0，得x=-$\sqrt{14}$＜3（舍去），或x=$\sqrt{14}$；
⑦當(dāng)x∈[4，$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$]時(shí)，[x]=4，
解x²-12-5=0，得x=-$\sqrt{17}$＜4（舍去），或x=$\sqrt{17}$；
綜上得知方程x²-3[x]-5=0的解為x=$\sqrt{14}$，或x=$\sqrt{17}$，
$\sqrt{14}$×$\sqrt{17}$=$\sqrt{238}$．
故答案為：$\sqrt{238}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的取整函數(shù)，解題的關(guān)鍵是依據(jù)[x]≤x，解x²-5≤3x得出x的大致范圍，再在每個(gè)單位1的區(qū)間內(nèi)去求解，即可得出結(jié)論．