Question

19．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD，點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，AB與x軸的正半軸相交于點(diǎn)E，若E為AB的中點(diǎn)，則k的值為$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 證得△AOE≌△BHE≌△DFA≌△BGC，得出BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k-1，即可求得D和C的坐標(biāo)，然后由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積等于k列出方程組，通過(guò)解方程組可以求得k的值．

解答 解：如圖，作DF⊥y軸于F，過(guò)B點(diǎn)作x軸的平行線與過(guò)C點(diǎn)垂直與x軸的直線交于G，CG交x軸于K，作BH⊥x軸于H，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠OAE=90°，
∵∠AEO+∠OAE=90°，
∴∠DAF=∠AEO，
∵AB=2AD，E為AB的中點(diǎn)，
∴AD=AE，
在△ADF和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠AEO}\\{∠AFD=∠AOE=90°}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△EAO（AAS），
∴DF=OA=1，AF=OE，
∴D（1，k），
∴AF=k-1，
同理；△AOE≌△BHE，△ADF≌△CBG，
∴BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k-1，
∴OK=2（k-1）+1=2k-1，CK=k-2
∴C（2k-1，k-2），
∴（2k-1）（k-2）=1•k，
解得k₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，k₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∵k-1＞0，
∴k=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
故答案是：$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．