Question

14．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，∠EAF=
60°，連接EF，則△AEF的面積最小值是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先由△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì)，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得△AEF是等邊三角形，當(dāng)AE⊥BC時(shí)得出△AEF的面積最小值即可．

解答 解：當(dāng)AE⊥BC時(shí)，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{∠AEB=∠AFC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∵當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AB=4，
∴AE=$2\sqrt{3}$，
∴△AEF的面積最小值=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
故答案為：$3\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)解答．