Question

9．已知：如圖，直線MN經(jīng)過?ABCD的頂點(diǎn)A，BB′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，B′、C′、D′是垂足．
（1）求證：CC′=BB′+DD′．
（2）現(xiàn)將直線MN向上或向下平移，請分別按下面要求畫出示意圖，寫出這時(shí)四條垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間的等量關(guān)系式．并簡要說明證明思路．
（�。┦裹c(diǎn)A、B、C、D都在直線MN的同一側(cè)，這時(shí)AA′+CC′=BB′+DD′；
（ⅱ）使A點(diǎn)在MN的一側(cè)，點(diǎn)B、C、D在另一側(cè)，這時(shí)CC′-AA′=BB′+DD′；
（ⅲ）使點(diǎn)A、B在MN的一側(cè)，點(diǎn)C、D在另一側(cè)，這時(shí)CC′+BB′=AA′+DD′．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于O′，利用三角形中位線定理以及梯形中位線定理即可證明．
（2）（ⅰ）如圖2中，結(jié)論AA′+CC′=BB′+DD，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，利用梯形中位線定理可以證明AA′+CC′=BB′+DD．
（ⅱ）如圖3中，結(jié)論CC′-AA′=BB′+DD，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，延長A′O交CC′于E，只要證明CC′-AA′=2OO′．BB′+DD′=2OO′即可．
（ⅲ）如圖4中，結(jié)論CC′-AA′=DD′-BB，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，證明方法類似．

解答 （1）證明：如圖1中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于O′．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=OC，BO=BD，
∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′，
∴B′O′=O′D′，AO′=O′C′，
∴CC′=2OO′，BB′+DD′=2OO′，
∴CC′=BB′+DD′．
（2）（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)A、B、C、D都在直線MN的同一側(cè)，
如圖2中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，
∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，
∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，
∴AA′+CC′=2OO′，BB′+DD′=2OO′，
∴AA′+CC′=BB′+DD′，
故答案為AA′+CC′=BB′+DD′
（ⅱ）當(dāng)A點(diǎn)在MN的一側(cè)，點(diǎn)B、C、D在另一側(cè)，如圖3中，
如圖3中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，延長A′O交CC′于E．
∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，
∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，
∴BB′+DD′=2OO′，
∵AA′∥CE，
∴∠AA′O=∠OEC$\left\{\begin{array}{l}{∠AOA′=∠EOC}\\{∠AA′O=∠OEC}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
在△AA′O和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOA′=∠EOC}\\{∠AA′O=∠OEC}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AA′O≌△CEO，
∴AA′=EC，A′O=OE，
∴EC′=2OO′，即CC′-AA′=2OO′，
∴CC′-AA′=BB′+DD′，
故答案為CC′-AA′=BB′+DD．                     
（ⅲ）當(dāng)點(diǎn)A、B在MN的一側(cè)，點(diǎn)C、D在另一側(cè)，
如圖4中，連接AC、BD交于點(diǎn)O，作OO′⊥MN于OO′，
∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，
∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，
同理可以證明：CC′-AA′=2OO′，DD′-BB′=2OO′，
∴CC′-AA′=DD′-BB′，
故答案為CC′-AA′=DD′-BB′．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，利用中位線定理解決問題，題目有點(diǎn)難度，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線、梯形中位線解決．