Question

如圖所示，扇形OAB的半徑OA=r，圓心角∠AOB=90°，點(diǎn)C是上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在DE上，DM=2EM，過(guò)點(diǎn)C的直線PC交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且∠CPD=∠CDE．
（1）求證：DM=r；
（2）求證：直線PC是扇形OAB所在圓的切線；
（3）設(shè)y=CD²+3CM²，當(dāng)∠CPO=60°時(shí)，請(qǐng)求出y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，證明四邊形ODCE是矩形，
（2）設(shè)OC與DE交于點(diǎn)F，則在矩形ODCE中，F(xiàn)C=FD，根據(jù)角的關(guān)系得到PC⊥OC于點(diǎn)C，
（3）過(guò)C作CH⊥DE于點(diǎn)H，在Rt△OCD和Rt△CDH中解得CD、DH、CH，進(jìn)而寫出y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式．
解答：（1）證明：連接OC，
∵點(diǎn)C是上異于A、B的點(diǎn)，又CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，
∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∴DE=OC．
∵OC=OA=r，
∴DE=r．
又∵DM=2EM，
∴DM=DE=r；

（2）證明：設(shè)OC與DE交于點(diǎn)F，則在矩形ODCE中，F(xiàn)C=FD，
∴∠CDE=∠DCO，
又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，
∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于點(diǎn)C，
又∵OC為扇形OAB的半徑，
∴PC是扇形OAB所在圓的切線；

（3）解：過(guò)C作CH⊥DE于點(diǎn)H
∵∠OCD=∠CDH=∠CPO=60°，
∴在Rt△OCD和Rt△CDH中，得
CD=OC=r，DH=CD=r，CH=r．
又MH=DM-DH=r-r=r，
∴在Rt△CMH中，得CM²=MH²+CH²=，
則y=CD²+3CM²，
=+3×r²
=r²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．