Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD、過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：△FDB∽△FAD；
（3）如果⊙O的半徑為5，sin∠ADE=$\frac{4}{5}$，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；
（2）利用兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似進行證明即可．
（3）由∠DAC=∠DAB，根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE=$\frac{32}{5}$，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵AB為⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切線；

（2）證明：∵EF是⊙O的切線，
∴∠ODB+∠BDF=90°，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD+∠BDF=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠OBD=90°，
∴∠DAB=∠BDF，
∵∠BFD=∠DFA，
∴△FDB∽△FAD；

（3）∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{4}{5}$，
∴AE=$\frac{32}{5}$，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{FO}{FA}$，即$\frac{5}{\frac{32}{5}}$=$\frac{BF+5}{BF+10}$，
∴BF=$\frac{90}{7}$．

點評 本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理和解直角三角形．